Question

已知DA⊥平面ABC，AC⊥CB，AC=CB=AD=2，E是DC的中點，F(xiàn)是AB的中點．
（1）證明AC⊥EF；
（2）求二面角C-DB-A的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AC中點G，連接EG，GF，由已知條件推導(dǎo)出EG∥DA，GF∥CB，由此得到AC⊥平面EGF，從而能證明AC⊥EF．
（2）連接CF，在平面DAB中作FH⊥DB于點H，連接CH．由已知條件推導(dǎo)出∠FHC就是二面角CDBA的平面角，由此能求出二面角C-DB-A的正切值．

解答： （1）證明：取AC中點G，連接EG，GF，
因為E是DC的中點，F(xiàn)是AB的中點，
所以EG∥DA，GF∥CB，
因為DA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以DA⊥AC，
因此AC⊥EG，因為AC⊥CB，所以AC⊥GF，
EG?平面EGF，GF?平面EGF，EG∩GF=G，
所以AC⊥平面EGF，EF?平面EGF，所以AC⊥EF．
（2）解：連接CF，在平面DAB中作FH⊥DB于點H，
連接CH．因為AC=CB，F(xiàn)是AB的中點，所以CF⊥AB，
因為DA⊥平面ABC，CF?平面ABC，所以CF⊥DA，
DA∩AB=A，DA?平面DAB，AB?平面DAB，所以CF⊥平面DAB，
DB?平面DAB，所以DB⊥CF，因此DB⊥平面FCH，DB⊥CH，
所以∠FHC就是二面角CDBA的平面角．
因為

FH

DA

=

FB

DB

，所以FH=

FB

DB

•DA=

2

AB2+DA2

×2=

2

(2 2 )2+22

×2=

6

3

，
在直角三角形CFH中，CF=

2

，∠CFH=

π

2

，
所以tan∠CHF=

CF

FH

=

2

6 3

=

3

．
所以二面角C-DB-A的正切值為

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．