Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，PD=AD，CD=1，AB=2，E是PB中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ACP上的射影是△ACP
的重心G．
（1）求PB與平面ACP所成角的正弦值；
（2）求二面角B-AC-E的平面角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：計(jì)算題,空間角

分析：（1）連結(jié)PG，則PG是PE在面ACP的射影，即∠EPG是PB與平面ACP所成的角，求出EG，PE，即可求PB與平面ACP所成角的正弦值；
（2）點(diǎn)E作底面ABCD的垂線，垂足為H，過點(diǎn)E作AC的垂線，垂足為I，連接HI，則∠HIE即為二面角B-AC-E的平面角，求出EH，EI，即可求二面角B-AC-E的平面角的正弦值．

解答： 解：（1）連結(jié)PG，則PG是PE在面ACP的射影，
即∠EPG是PB與平面ACP所成的角．
設(shè)F為PA中點(diǎn)，連結(jié)EF、FD，
∵E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點(diǎn)，底面ABCD是直角梯形，
∴EF∥CD，EF=CD，
∵CD⊥平面PAD，
∴DCEF為矩形，∴G∈CF.
∵EF=1，∴FC=

3

.
∴EC=

2

，EG=

1× 2

3

=

6

3

，
∵PE=

3

，
∴sin∠EPG=

EG

PE

=

2

3

；
（2）過點(diǎn)E作底面ABCD的垂線，垂足為H，則EH∥PD，且EH=1．
過點(diǎn)E作AC的垂線，垂足為I，連接HI，則∠HIE即為二面角B-AC-E的平面角．
由于CE∥DF，而DF⊥面PAB，∴CE⊥AE，CE⊥PB，則CE=

2

，AE=

3

，
∴EI=

2 3

5

=

30

5

，
∴sin∠HIE=

EH

EI

=

1

30 5

=

30

6

∴二面角B-AC-E的平面角的正弦值是

30

6

．

點(diǎn)評：本題考查空間角的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確作出空間角是關(guān)鍵．