Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面，且，

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若直線與平面所成角的大小為，求銳二面角的大�。�

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先取的中點，連接，根據(jù)線面垂直的判定定理，證明側(cè)面，進而可得出；

(Ⅱ)根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果，得到且底面，以點為原點，以所在直線分別為， ，軸建立空間直角坐標系，設(shè)，表示出，再求出平面的一個法向量，根據(jù)直線與平面所成角的大小為，求出，再求出平面的一個法向量，由向量夾角公式，即可求出結(jié)果.

（Ⅰ）如圖，取的中點，連接.

因為，所以.

由平面側(cè)面，且平面側(cè)面，

得平面.

又平面，所以，

因為三棱柱是直三棱柱，則底面，所以

又，從而側(cè)面，

又側(cè)面，故．

(Ⅱ)由（1）知且底面，所以以點為原點，以所在直線分別為， ，軸建立空間直角坐標系.

設(shè)，則，，，，，，，.

設(shè)平面的一個法向量，由，，得.

令，得，則.

設(shè)直線與平面所成的角為，則，

所以，

解得， 即.

又設(shè)平面的一個法向量為，同理可得.

設(shè)銳二面角的大小為，則，

由，得.

∴銳二面角的大小為.