Question

已知函數(shù)f(x)=

a(x-1)

x2

，其中a＞0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）設g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導函數(shù)，直接讓導函數(shù)大于0求出增區(qū)間，導函數(shù)小于0求出減區(qū)間即可；
（Ⅱ）直接利用切線的斜率即為切點處的導數(shù)值以及切點是直線與曲線的共同點聯(lián)立方程即可求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）先求出g（x）的導函數(shù)，分情況討論出函數(shù)在區(qū)間[1，e]上的單調性，進而求得其在區(qū)間[1，e]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）′因為函數(shù)f(x)=

a(x-1)

x2

，
∴f′（x）=

[a(x-1)]′•x2-(x2)′a(x-1)

x4

=

a(2-x)

x3

f′（x）＞0?0＜x＜2，f′（x）＜0?x＜0，x＞2，
故函數(shù)在（0，2）上遞增，在（-∞，0）和（2，+∞）上遞減．
（Ⅱ）設切點為（x，y），
由切線斜率k=1=

-a(x- 2 a )

x3

，?x³=-ax+2，①
由x-y-1=x-

a(x-1)

x2

-1=0?（x²-a）（x-1）=0?x=1，x=±

a

．
把x=1代入①得a=1，
把x=

a

代入①得a=1，
把x=-

a

代入①得a=-1，
∵a＞0．
故所求實數(shù)a的值為1
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，且g′（1）=1-a，g′（e）=2-a．
當a＜1時，g′（1）＞0，g′（e）＞0，故g（x）在區(qū)間[1，e]上遞增，其最大值為g（e）=a+e（1-a）；
當1＜a＜2時，g′（1）＜0，g′（e）＞0，故g（x）在區(qū)間[1，e]上先減后增且g（1）=0，g（e）＞0．所以g（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為g（e）=a+e（1-a）；
當a＞2時，g′（1），0，g′（e）＜0，g（x）在區(qū)間[1，e]上遞減，故最大值為g（1）=0．

點評：本題主要考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，是高考的常考題型．