Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且cos（A-B）cosB-sin（A-B）sin（A+C）=-

3

5

．
  （1）求sinA的值．
  （2）若a=4

2

，b=5，求向量

BA

在

BC

方向上的投影．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：解三角形

分析：（1）整理已知等式求得cosA的值，進而利用同角三角函數(shù)關系求得sinA的值．
（2）利用正弦定理其求得sinB，進而利用余弦定理整理出關于c方程，求得c，最后利用向量的運算法則，求得答案．

解答： 解：（1）∵cos（A-B）cosB-sin（A-B）sin（A+C）=-

3

5

．
∴cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=-

3

5

，
∴cos（A-A+B）=-

3

5

，即cosA=-

3

5

，
∵π∈（0，π）
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

．
（2）∵

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinB=

bsinA

a

=

2

2

，
由題知，a＞b，則A＞B，故B=

π

4

．
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴（4

2

）²=5²+c²-2•5c•（-

3

5

），
解得c=1或c=-7（舍去），
∴向量

BA

在

BC

方向上的投影為|

BA

|cosB=

2

2

．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的運用．靈活運用正弦定理和余弦定理對三角形的問題進行轉(zhuǎn)化和化歸．