【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.
注:為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求證:當(dāng)時(shí),.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)首先利用切線的斜率建立方程,求出;利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極值點(diǎn),極值點(diǎn)介于之間,由此求得的取值范圍;(2)先用分析法,將原不等式等價(jià)變形為,利用導(dǎo)數(shù)求出左邊函數(shù)的最小值和右邊函數(shù)的最大值即可證得原不等式成立.
試題解析:
(1) 因?yàn)?/span>,所以
又據(jù)題意,得,所以,所以
所以,
所以
當(dāng)時(shí),,為增函數(shù);
當(dāng)時(shí),,為減函數(shù).
所以函數(shù)僅當(dāng)時(shí),取得極值
又函數(shù)在區(qū)間上存在極值,所以,所以.
故實(shí)數(shù)的取值范圍是
(2)當(dāng)時(shí),,即為.
令,則.
再令,則.
又因?yàn)?/span>,所以.
所以在上是增函數(shù).
又因?yàn)?/span>.
所以當(dāng)時(shí),.
所以在區(qū)間上是增函數(shù).
所以當(dāng)時(shí),,又,故
令,則.
因?yàn)?/span>,所以.
所以當(dāng)時(shí),.故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).
又,
所以當(dāng)時(shí),,
所以,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最小正周期為.
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,若在上至少含有10個(gè)零點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個(gè)平面,則下列命題正確的是( )
A. 若l⊥m,mα,則l⊥α
B. 若l⊥α,l∥m,則m⊥α
C. 若l∥α,mα,則l∥m
D. 若l∥α,m∥α,則l∥m
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知, , .
(1)當(dāng)時(shí),試比較與的大小關(guān)系;
(2)猜想與的大小關(guān)系,并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)關(guān)于數(shù)列命題:
(1)若是等差數(shù)列,則三點(diǎn)、、共線;
(2)若是等比數(shù)列,則、、 ()也是等比數(shù)列;
(3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若對(duì)任意的,點(diǎn)均在函數(shù) (, 均為常數(shù))的圖象上,則r的值為.
(4)對(duì)于數(shù)列,定義數(shù)列為數(shù)列的“差數(shù)列”,若, 的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為,則數(shù)列的前項(xiàng)和
其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為,滿足,且,公比大于1的等比數(shù)列滿足, .
(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和;
(3)在(2)的條件下,若對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)寫出所有與終邊相同的角;
(2)寫出在內(nèi)與終邊相同的角;
(3)若角與終邊相同,則是第幾象限的角?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,其上下頂點(diǎn)分別為,點(diǎn).
(1)求橢圓的方程以及離心率;
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)的任意作直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)直線的斜率依次成等差數(shù)列,探究之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系,若是請(qǐng)給出的關(guān)系式,并證明;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列為等比數(shù)列,等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足:
.
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求;
(3)設(shè),問(wèn)是否存在正整數(shù),使得.
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