Question

【題目】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，且，公比大于1的等比數(shù)列滿足， .

（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）在（2）的條件下，若對一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析， ；(2) ；(3) .

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合函數(shù)的遞推公式可證得數(shù)列是首先為1，公差為2的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為；

(2)錯位相減可得數(shù)列的前n項(xiàng)和為；

(3)由題意可得數(shù)列單調(diào)遞減，據(jù)此得到關(guān)于實(shí)數(shù)t的不等式，求解不等式可得實(shí)數(shù)t的取值范圍是.

試題解析：

(1) 當(dāng)時(shí)，，，

，所以，.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是公差的等差數(shù)列，

，，

則是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

(2)由題意得， ；

則前n項(xiàng)和；

；

相減可得

；

化簡可得前n項(xiàng)和；

（3）對一切正整數(shù)n恒成立，

由，

可得數(shù)列單調(diào)遞減,即有最大值為，

則 解得或 .

即實(shí)數(shù)t的取值范圍為.