【題目】已知函數(shù)fx=log44x+1+kxgx=log4a2xa),其中fx)是偶函數(shù).

1)求實數(shù)k的值;

2)求函數(shù)gx)的定義域;

(3)若函數(shù)fx)與gx)的圖象有且只有一個公共點,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)(2)見解析(3){a|a>1或a=﹣3}.

【解析】試題分析:(1)由偶函數(shù)定義得f(﹣x)=f(x),根據(jù)對數(shù)運算法則化簡可得2k=﹣1,即得實數(shù)k的值;(2)解含參數(shù)不等式,一般方法為先分解因式,再討論各因子符號,即得函數(shù)g(x)的定義域;(3)先根據(jù)對數(shù)運算法則化簡方程f(x)=g(x),去掉對數(shù),再設(shè)2x=t,轉(zhuǎn)化為類二次方程有正解情況,分一次方程,二次方程中分二個相同正根與一個正根一個負根依次討論,最后求并集得實數(shù)a的取值范圍.

試題解析:解:(I)f(x)的定義域為R,

∵f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函數(shù),

∴f(﹣x)=f(x)恒成立,

即log4(4﹣x+1)﹣kx=log4(4x+1)+kx恒成立,

∴l(xiāng)og4=2kx,即log4=2kx,

∴42kx=4﹣x,∴2k=﹣1,即k=﹣

(II)由g(x)有意義得a2x>0,即a(2x)>0,

當(dāng)a>0時,2x>0,即2x,∴x>log2,

當(dāng)a<0時,2x<0,即2x,∴x<log2

綜上,當(dāng)a>0時,g(x)的定義域為(log2,+∞),

當(dāng)a<0時,g(x)的定義域為(﹣∞,log2).

(III)令f(x)=g(x)得log4(4x+1)﹣x=log4(a2x),

∴l(xiāng)og4=log4(a2x),即2x+=a2x

令2x=t,則(1﹣a)t2+at+1=0,,

∵f(x)與g(x)的圖象只有一個交點,

∴f(x)=g(x)只有一解,∴關(guān)于t的方程(1﹣a)t2+at+1=0只有一正數(shù)解,

(1)若a=1,則+1=0,t=﹣,不符合題意;

(2)若a≠1,且﹣4(1﹣a)=0,即a=或a=﹣3.

當(dāng)a=時,方程(1﹣a)t2+at+1=0的解為t=﹣2,不符合題意;

當(dāng)a=﹣3時,方程(1﹣a)t2+at+1=0的解為t=,符合題意;

(3)若方程(1﹣a)t2+at+1=0有一正根,一負根,則<0,∴a>1,

綜上,a的取值范圍是{a|a>1或a=﹣3}.

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