【題目】(2015·湖南)如下圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E、F分別是BC、CC1的中點(diǎn).

(1)證明：平面AEF⊥平面B1BCC1；

(2)若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，求三棱錐F－AEC的體積．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】(1)證明：如圖，因?yàn)槿庵?/span>ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，

又E是正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，又AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.

(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接A1D，CD，因?yàn)?/span>△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1，因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D為直線A1C與平面A1ABB1所成的角，由題設(shè)知∠CA1D＝45°，

所以A1D＝CD＝AB＝，在Rt△AA1D中，AA1＝，所以FC＝AA1＝，故三棱錐F－AEC的體積V＝

S△AEC×FC＝.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù).

x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

（1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖．

（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程.

（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤．

（參考數(shù)值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F(xiàn)（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．
（1）若y=f（x）與y=g（x）的圖象在交點(diǎn)（2，k）處的切線互相垂直，求a，b的值；
（2）若x=2是函數(shù)F（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，x0和1是F（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，且x0∈（n，n+1）n∈N，求n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】集合A是由滿足以下性質(zhì)的函數(shù)f（x）組成的：對(duì)于任意x≥0，f（x） ∈[-2，4]且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù).

（Ⅰ）試判斷與（x≥0）是否屬于集合A，并說明理由；

（Ⅱ）對(duì)于（Ⅰ）中你認(rèn)為屬于集合A的函數(shù)f（x），證明：對(duì)于任意的x≥0，都有f（x）+f（x+2）<2f（x+1）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（3﹣a）x﹣2+a﹣2lnx（a∈R）
（1）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣x在（0， ）上無零點(diǎn)，求a的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是BB1 ， CD的中點(diǎn)，求證：平面ADE⊥平面A1FD1 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx與g（x）=log4（a2x﹣a），其中f（x）是偶函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)k的值；

（2）求函數(shù)g（x）的定義域；

(3)若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 離心率為 ，短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為A，B（A在B的上方），且四邊形AF1BF2的面積為8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G，求證：A，G，N三點(diǎn)共線．

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