Question

已知函數(shù)f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）
（1）判定并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）試證明f（x）＞0在定義域內(nèi)恒成立；
（3）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，2f（x）-（

1

2

）^m•x＜0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求函數(shù)定義域，然后判斷f（x）與f（-x）的關(guān)系，根據(jù)奇偶性的定義可作出判斷；
（2）先利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證明x＞0時(shí)f（x）＞0，然后利用偶函數(shù)的性質(zhì)證明x＜0時(shí)f（x）＞0；
（3）2f（x）-（

1

2

）^m•x＜0對(duì)x∈[1，3]恒成立，分離參數(shù)后可得（

1

2

）^m＞2（

1

2x-1

+

1

2

），令g(x)=2 (

1

2x-1

+

1

2

)，則問題化為g（x）_max，利用基本函數(shù)的單調(diào)性可求得g（x）_max；

解答： 解：（1）f(x)=x (

1

2x-1

+

1

2

)為偶函數(shù)，證明如下：
f(x)=x (

1

2x-1

+

1

2

)的定義域?yàn)椋簕x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
對(duì)于任意x∈{x|x≠0}有：f(-x)=-x (

1

2-x-1

+

1

2

)=x(

2x

2x-1

-

1

2

)=x(

2x-1+1

2x-1

-

1

2

)
=x (1+

1

2x-1

-

1

2

)=x (

1

2x-1

+

1

2

)=f(x)成立，
∴f(x)=x (

1

2x-1

+

1

2

)為偶函數(shù)；
（2）∵f(x)=x (

1

2x-1

+

1

2

)定義域?yàn)椋簕x|x≠0}，
當(dāng)x＞0時(shí)，2^x＞2⁰=1，∴2^x-1＞0，∴

1

2x-1

+

1

2

＞0，x＞0，
∴f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)＞0恒成立；
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，由（1）可知：f（x）=f（-x）＞0，
綜上所述，f（x）＞0在定義域內(nèi)恒成立．
（3）2f（x）-（

1

2

）^m•x＜0對(duì)x∈[1，3]恒成立，
∴2x（

1

2x-1

+

1

2

）-（

1

2

）^m•x＜0，∴（

1

2

）^m＞2（

1

2x-1

+

1

2

），
令g(x)=2 (

1

2x-1

+

1

2

)，
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，2^x-1遞增，

1

2x-1

遞減，
∴g(x)=2 (

1

2x-1

+

1

2

)在[1，3]上為減函數(shù)，
∴g(x)=2 (

1

2x-1

+

1

2

)≤g(1)=3對(duì)x∈[1，3]恒成立，
∴(

1

2

)m＞3，解得m的取值范圍是m＜log

1

2

3．

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，考查恒成立問題的求解，考查轉(zhuǎn)化思想，定義是研究函數(shù)基本性質(zhì)的常用方法，要熟練掌握．