(2011•自貢三模)(本小題滿分12分>
設(shè)平面直角坐標(biāo)中,O為原點(diǎn),N為動點(diǎn),|
ON
|=6,
ON
=
5
OM
.過點(diǎn)M作MM1丄y軸于M1,過N作NN1⊥x軸于點(diǎn)N1,
OT
=
M1M
+
N1N
,記點(diǎn)T的軌跡為曲線C.
(I)求曲線C的方程:
(H)已知直線L與雙曲線C:5x2-y2=36的右支相交于P、Q兩點(diǎn)(其中點(diǎn)P在第-象限).線段OP交軌跡C于A,若
OP
=3
OA
,S△PAQ=-26tan∠PAQ求直線L的方程.
分析:(Ⅰ)設(shè)T(x,y),點(diǎn)N(x1,y1),則N1(x1,0),又
OM
=
1
5
ON
=(
1
5
x1
1
5
y1)
,M1(0,
1
5
y1)
,
M1N
=(
1
5
x1,0)
N1N
=(0,y1)
,于是
OT
=
M1M
+
N1N
=(
1
5
x1,y1)
,由此能求出曲線C的方程.
(Ⅱ)設(shè)A(x,y),由
OP
=3
OA
及P在第一象限知P(3m,3n),m>0,n>0,由A∈C1,P∈C2,知5m2+n2=36,5m2-n2=4,解得A(2,4),P(6,12),設(shè)Q(x,y),則5x2-y2=36.由S=-26tan∠PAQ,得
1
2
|
AP
| •|
AQ
| •sin∠PAQ=-26tan∠PAQ
,所以(4,8)•(x-2,y-4)=-52x+2y+3=0.聯(lián)立方程組,解得Q(3,-3).由P(6,12),Q(3,-3)得l的方程.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)T(x,y),點(diǎn)N(x1,y1),則N1(x1,0),
OM
=
1
5
ON
=(
1
5
x1,
1
5
y1)
,
M1(0,
1
5
y1)
M1M
=(
1
5
x1,0)
,
N1N
=(0,y1)
,
于是
OT
=
M1M
+
N1N
=(
1
5
x1,y1)
,
即(x,y)=(
1
5
x1 ,y1)
,
x1=
5
x
y1=y
,代入|
ON
| =6
,得5x2+y2=36.
∴曲線C的方程是5x2+y2=36.
(Ⅱ)設(shè)A(x,y),由
OP
=3
OA
及P在第一象限知P(3m,3n),m>0,n>0,
∵A∈C1,P∈C2,
∴5m2+n2=36,5m2-n2=4,
解得m=2,n=4,即A(2,4),P(6,12),
設(shè)Q(x,y),則5x2-y2=36①,
由S=-26tan∠PAQ,得
1
2
|
AP
| •|
AQ
| •sin∠PAQ=-26tan∠PAQ
,
AP
AQ
=-52
,
即(4,8)•(x-2,y-4)=-52x+2y+3=0②
聯(lián)立①②,解得
x=-
51
19
y=-
3
19
,或
x=3
y=-3
,
∵Q在雙曲線的右支,∴Q(3,-3).
由P(6,12),Q(3,-3)得l的方程為
y+3
12+3
=
x-3
6-3

即5x-y-18=0.
點(diǎn)評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•自貢三模)把函數(shù)g(x)=sinx(x∈R)按向量
a
=(
π
2
,0)平移后得到函數(shù)f(x),下面結(jié)論錯誤的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•自貢三模)設(shè)A(x,1)、B (2,y)、C (4,5)為坐標(biāo)平面上三點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足條件:|
AB
+
OC
|=|
AB
-
OC
|的動點(diǎn)(x,y)的軌跡方程為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•自貢三模)函數(shù)f(x)=-x3-8x2-7x+5的圖象在X=-1處的切線斜率為k,則(2x-
12x
k的展開式的常數(shù)項(xiàng)是
-20
-20

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•自貢三模)給出下列5個命題:
①0<a≤
1
5
是函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上為單調(diào)減函數(shù)的充要條件
②如圖所示,“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球,在月球附近一點(diǎn)P進(jìn)入以月球球心F為一個焦點(diǎn)的橢圓敘道I繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行,最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行,若用2cl和2c2分別表示橢圓軌道I和II的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長,則有a1-c1=a2-c2;
③y=f(x)與它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象若相交,則交點(diǎn)必在直線y=x上;
④若a∈(π,
4
),則
1
1-tanα
>1+tanα>
2tanα
;
⑤函數(shù)f(x)=
e-x+3
e-x+2
(e是自然對數(shù)的底數(shù))的最小值為2.
其中所有真命題的代號有
②④
②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•自貢三模)已知函數(shù),y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)
(Ⅰ)要使f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時,若函數(shù)f(x)的極小值和極大值分別為1、
31
27
,試求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(Ⅲ)若x∈[0,1]時,y=f(x)圖象上任意一點(diǎn)處的切線傾斜角為θ,當(dāng)0≤θ≤
π
4
.時,求a的取值范圍.

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