Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log 

1

2

1-ax

x-1

 為奇函數(shù)，a為常數(shù)．
（1）求a的值，并用函數(shù)的單調(diào)性定義證明f（x）在區(qū)間（1，+∞） 內(nèi)單調(diào)遞增；
（3）若對于區(qū)間[3，4]上的每一個的x值，不等式f（x）≥（

1

2

）^x+m恒成立，求實數(shù)m最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得log

1

2

1+ax

-1-x

=-log 

1

2

1-ax

x-1

，從而求a，再令（x）=1+

2

x-1

，利用定義法證明其單調(diào)性，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性說明f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)g（x）=log

1

2

(1+

2

x-1

)-（

1

2

）^x，將恒成立問題化為最值問題．

解答： 解：（1）∵f（-x）=-f（x），
∴log

1

2

1+ax

-1-x

=-log 

1

2

1-ax

x-1

，
∴（1+ax）（1-ax）+（x+1）（x-1）=0，
解得，a=-1；
則f（x）=log 

1

2

1-ax

x-1

=log

1

2

(1+

2

x-1

)（x＞1），
記u（x）=1+

2

x-1

，
任取1＜x₁＜x₂，
則u（x₁）-u（x₂）=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
∴u（x）=1+

2

x-1

在（1，+∞）上是減函數(shù)，
又∵y=log

1

2

x在其定義域上是減函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞） 內(nèi)單調(diào)遞增．
（3）設(shè)g（x）=log

1

2

(1+

2

x-1

)-（

1

2

）^x．
則g（x）在[3，4]上為增函數(shù)．
又∵g（x）≥m對x∈[3，4]恒成立，
∴m≤g（3）=-

9

8

，
故實數(shù)m的最大值為-

9

8

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)及恒成立問題，屬于難題．