Question

如圖所示，在所有棱長(zhǎng)都相等的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D點(diǎn)為棱AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC₁∥面CDB₁；
（2）若三棱柱的棱長(zhǎng)為2a，求異面直線AC₁與DB₁所成的角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)BC₁，B₁C交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E是B₁C的中點(diǎn)，連結(jié)DE，由三角形中位線定理得AC₁∥DE，由此證明AC₁∥面CDB₁．
（2）由AC₁∥DE，得∠EDB₁是異面直線AC₁與DB₁所成的角，由此能求出異面直線AC₁與DB₁所成的角的余弦值．

解答： （本小題15分）
（1）證明：連結(jié)BC₁，B₁C交于點(diǎn)E，
則點(diǎn)E是B₁C的中點(diǎn)，連結(jié)DE，因?yàn)镈點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，
所以DE是△ABC₁的中位線，所以AC₁∥DE，
因?yàn)镈E?面CDB₁，AC₁?面CDB₁，
所以AC₁∥面CDB₁．
（2）解：因?yàn)锳C₁∥DE，
所以∠EDB₁是異面直線AC₁與DB₁所成的角，
因?yàn)槔忾L(zhǎng)為2a，所以DE=EB1=

2

a，DB1=

5

a，
取DB₁的中點(diǎn)F，連接EF，則EF⊥DB₁，且DE=

5

2

，
所以cos∠EDB1=

DF

DE

=

10

4

．
即異面直線AC₁與DB₁所成的角的余弦值為

10

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．