如圖所示，在所有棱長(zhǎng)都相等的三棱柱ABC-A1B1C1中，D點(diǎn)為棱AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC1∥面CDB1；
（2）若三棱柱的棱長(zhǎng)為2a，求異面直線AC1與DB1所成的角的余弦值．
考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）連結(jié)BC1，B1C交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E是B1C的中點(diǎn)，連結(jié)DE，由三角形中位線定理得AC1∥DE，由此證明AC1∥面CDB1．
（2）由AC1∥DE，得∠EDB1是異面直線AC1與DB1所成的角，由此能求出異面直線AC1與DB1所成的角的余弦值．
解答： （本小題15分）
（1）證明：連結(jié)BC1，B1C交于點(diǎn)E，
則點(diǎn)E是B1C的中點(diǎn)，連結(jié)DE，因?yàn)镈點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，
所以DE是△ABC1的中位線，所以AC1∥DE，
因?yàn)镈E?面CDB1，AC1?面CDB1，
所以AC1∥面CDB1．
（2）解：因?yàn)锳C1∥DE，
所以∠EDB1是異面直線AC1與DB1所成的角，
因?yàn)槔忾L(zhǎng)為2a，所以DE=EB1=
2
a，DB1=
5
a，
取DB1的中點(diǎn)F，連接EF，則EF⊥DB1，且DE=
5
2
，
所以cos∠EDB1=
DF
DE
=
10
4
．
即異面直線AC1與DB1所成的角的余弦值為
10
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某小組共有A、B、C、D、E五位同學(xué)，他們高三一模的數(shù)學(xué)成績(jī)以及語文成績(jī)?nèi)缦卤硭荆?br />
ABCDE
數(shù)學(xué)1097311592122
語文92658510389
（Ⅰ）從該小組數(shù)學(xué)成績(jī)低于l20分的同學(xué)中任選2人，求選到的2人數(shù)學(xué)成績(jī)都在110分以下的概率；
（Ⅱ）從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的數(shù)學(xué)成績(jī)都在90以上且語文成績(jī)都在[86，110）中的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1=1，anan+1-an2+2an+1-4an-4=0．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）已知Sn是數(shù)列{
4
anan+1
}的前n項(xiàng)和，求證：
4
3
≤Sn≤2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=log2（2x-x2），且關(guān)于x的方程2f（x）=kx+1有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求k的取值范圍M；
（3）是否存在實(shí)數(shù)n，使得不等式n2+tn+1＞2|x1-x2|對(duì)任意的k∈M及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出n的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某學(xué)校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如圖所示，據(jù)此解答如下問題：

（1）求參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽人數(shù)n及分?jǐn)?shù)在[80，90），[90，100]之間的人數(shù)；
（2）若要從分?jǐn)?shù)在[80，100]之間的學(xué)生中任選兩人進(jìn)行某項(xiàng)研究，求至多有一人分?jǐn)?shù)在[80，90）之間的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知（x 
2
3
+3x2）n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，求：
（1）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）若點(diǎn)P（x，y）在曲線|x|+|y|=1上（xy≠0），求證：
x2
|y|
+
y2
|x|
≥1．
（Ⅱ）已知CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在弦AB與弦AC上，且BC•AE=DC•AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，證明：△ABC是直角三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，若f（1）=0，f′（1）=0，但x=1不是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，則abc的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=3n-2，則a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+a2n-1a2n-a2na2n+1=
 
．

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