Question

已知f（x）=log₂（2x-x²），且關于x的方程2^f（x）=kx+1有兩個不相等的實根x₁，x₂．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求k的取值范圍M；
（3）是否存在實數n，使得不等式n²+tn+1＞2|x₁-x₂|對任意的k∈M及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出n的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由函數的解析式可得2x-x²＞0，由此求得函數f（x）的定義域．
（2）關于x的方程2^f（x）=kx+1，即 x² +（k-2）x+1=0．令g（x）=x² +（k-2）x+1，則由題意可得

△=(k-2)2-4＞0 g(0)=1＞0 g(2)=4+2k-4+1＞0 0＜ 2-k 2 ＜2

．由此求得k的范圍，可得集合M．
（3）由（2）可得，|x₁-x₂|=

(k-2)2-4

∈（0，

3

2

）．假設存在實數n，使得不等式n²+tn+1＞2|x₁-x₂|對任意的k∈M及t∈[-1，1]恒成立，則有

n2-n+1≥3 n2+n+1≥3

，由此求得n的范圍，可得結論．

解答： 解：（1）由題意可得2x-x²＞0，求得0＜x＜2，故函數f（x）的定義域為（0，2）．
（2）關于x的方程2^f（x）=kx+1，即 2x-x² =kx+1，即 x² +（k-2）x+1=0．
令g（x）=x² +（k-2）x+1，則由題意可得

△=(k-2)2-4＞0 g(0)=1＞0 g(2)=4+2k-4+1＞0 0＜ 2-k 2 ＜2

．
解得-

1

2

＜k＜0∴M=（-

1

2

，0）．
（3）由（2）可得，|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

(k-2)2-4

∈（0，

3

2

）．
假設存在實數n，使得不等式n²+tn+1＞2|x₁-x₂|對任意的k∈M及t∈[-1，1]恒成立，
 則有

n2-n+1≥3 n2+n+1≥3

，解得n≤-2，或 n≥2，
故存在實數n∈（-∞，-2]∪[2，+∞），使得題中條件成立．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質的綜合應用，二次函數的性質，屬于中檔題．