【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)證明f(x)為偶函數(shù);
(2)若不等式k≤xf(x)+ 在x∈[1,3]上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)當x∈[ , ](m>0,n>0)時,函數(shù)g(x)=tf(x)+1,(t≥0)的值域為[2﹣3m,2﹣3n],求實數(shù)t的取值范圍.

【答案】
(1)證明:函數(shù)的定義域為(﹣∞,0)∪(0,+∞)關(guān)于原點對稱,

∵f(﹣x)= =f(x),

∴f(x)為偶函數(shù)


(2)k≤xf(x)+ =x在x∈[1,3]上恒成立,

∴k≤1


(3)g(x)=tf(x)+1=t(1﹣ )+1 (t≥0)在x∈[ ]上遞增,

∴g( )=2﹣3m,g( )=2﹣3n,

∴t(1﹣m2)+1=2﹣3m,t(1﹣n2)+1=2﹣3n,

∴m,n是t(1﹣x2)+1=2﹣3x的兩個不相等的正跟,

∴tx2﹣3x+1﹣t=0(t>0),

∴△=9﹣4t(1﹣t)>0,

>0,

>0,

∴0<t<1


【解析】(1)利用定義判斷函數(shù)的奇偶性,先求定義域,再判斷f(﹣x)= =f(x);(2)直接求右表達式的最小值即可;(3)得出g(x)=tf(x)+1=t(1﹣ )+1 (t≥0)在x∈[ , ]上遞增,可得出g( )=2﹣3m,g( )=2﹣3n,
構(gòu)造一方程m,n是t(1﹣x2)=2﹣3x的兩個不相等的正跟,利用二次函數(shù)和韋達定理得出t的范圍.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇.

練習冊系列答案
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