【題目】如圖1,在△中, , , 分別為邊的中點(diǎn),點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn).將△沿折起到△的位置,使.點(diǎn)為線段上的一點(diǎn),如圖2.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)線段上是否存在點(diǎn)使得平面?若存在,求出的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說明理由;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),求直線與平面所成角的大。
【答案】(1)見解析(2)在線段上存在中點(diǎn),使平面.
且(3)
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得.再由折疊中不變的垂直關(guān)系得,根據(jù)線面垂直判定定理得平面,即得 .最后再根據(jù)線面垂直判定定理得平面,即得.(2)利用空間向量研究線面平行關(guān)系,即通過平面法向量與直線方向向量垂直進(jìn)行研究,先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組解出平面法向量,利用向量數(shù)量積求直線方向向量與法向量夾角,最后根據(jù)平面法向量與直線方向向量數(shù)量積為零列式求解參數(shù).(3)利用空間向量求線面角,仍是先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組解出平面法向量,利用向量數(shù)量積求直線方向向量與法向量夾角,最后根據(jù)線面角與向量夾角之間互余關(guān)系列式求線面角大小.
試題解析:解:(Ⅰ)
因?yàn)?/span>,
所以△為等邊三角形.
又因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn),
所以.
由題可知,
所以平面.
因?yàn)?/span>平面,所以 .
又,所以平面.
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面, ,如圖
建立空間直角坐標(biāo)系,則, ,
, , , .
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
,,
所以即
令,所以,所以
假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/14/e30bb3b0/SYS201712291439006281273551_DA/SYS201712291439006281273551_DA.053.png" width="39" height="21" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />平面.
設(shè), .
又,所以.
所以.則.
所以.
解得, .
則在線段上存在中點(diǎn),使平面.
且
(Ⅲ)因?yàn)?/span>,又,所以.
所以.又因?yàn)?/span>,
所以.
因?yàn)?/span>設(shè)直線與平面所成角為,
則
直線與平面所成角為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,函數(shù),(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若,且命題“,”是假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】己知集合M={﹣1,1,2,4}N={0,1,2}給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則,其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)是( )
A.y=x2
B.y=x+1
C.y=2x
D.y=log2|x|
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中常數(shù).
(Ⅰ)討論在上的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若曲線上總存在相異兩點(diǎn),使曲線在兩點(diǎn)處的切線互相平行,試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下三個(gè)命題中:
①設(shè)有一個(gè)回歸方程 =2﹣3x,變量x增加一個(gè)單位時(shí),y平均增加3個(gè)單位;
②兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;
③在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)上是世界嚴(yán)重缺水的國(guó)家,城市缺水問題較為突出,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸),用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi),超過的部分按議價(jià)收費(fèi),為了了解全市民月用水量的分布情況,通過抽樣,獲得了100位居民某年的月用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照, ,…, 分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中 的值;
(Ⅱ)已知該市有80萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;
(Ⅲ)若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計(jì)的值,并說明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在R上的奇函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x)=f(x+4),當(dāng)x∈(﹣2,0)時(shí),f(x)=2x , 則f(2016)﹣f(2015)= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)證明f(x)為偶函數(shù);
(2)若不等式k≤xf(x)+ 在x∈[1,3]上恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)當(dāng)x∈[ , ](m>0,n>0)時(shí),函數(shù)g(x)=tf(x)+1,(t≥0)的值域?yàn)閇2﹣3m,2﹣3n],求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角性”.
該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個(gè)數(shù),則這個(gè)數(shù)為( )
A.2017×22015
B.2017×22014
C.2016×22015
D.2016×22014
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