Question

【題目】已知，函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）若，證明：曲線沒(méi)有經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線；

（Ⅱ）若函數(shù)在其定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；

（Ⅲ）是否存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在軸的上方，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ)答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線方程，化簡(jiǎn)得： ，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷方程無(wú)解，從而證明結(jié)論即可；（Ⅱ）分離參數(shù)，得，令（），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出參數(shù)的范圍即可；（Ⅲ）問(wèn)題等價(jià)于，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，從而證明結(jié)論即可；

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以，此時(shí)，

設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

則曲線在點(diǎn)處的切線

所以

化簡(jiǎn)得：

令，則，

所以當(dāng)時(shí)， ， 為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ， 為增函數(shù)，

所以，

所以無(wú)解

所以曲線的切線都不經(jīng)過(guò)點(diǎn)

（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，

所以在定義域上不單調(diào)，等價(jià)于有變號(hào)零點(diǎn)，

令，得，令（）．

因?yàn)?/span>，令， ，

所以是上的減函數(shù)，又，故是的唯一零點(diǎn)，

當(dāng)， ， ， 遞增；

當(dāng)， ， ， 遞減；

故當(dāng)時(shí)， 取得極大值且為最大值，

所以，即的取值范圍是

（Ⅲ）函數(shù)的圖象在軸的上方，即對(duì)任意， 恒成立．

．令（），

所以

（1）當(dāng)時(shí)， ，即

①當(dāng)時(shí)， ， 是減函數(shù)，所以；

②當(dāng)時(shí)， ，

令，則，所以是增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)， ，即

所以在上是增函數(shù)，所以，

當(dāng)時(shí)，取，且使，即，

則，

因?yàn)?/span>，故存在唯一零點(diǎn)，

即有唯一的極值點(diǎn)且為最小值點(diǎn)

所以，又，即，

故，設(shè)，

因?yàn)?/span>，所以是上的減函數(shù)，

所以，即

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意， 恒成立

（2）當(dāng)時(shí)， ，因?yàn)?/span>，取，

則， ，

所以不恒成立，

綜上所述，存在正整數(shù)滿足要求，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在軸的上方