Question

設(shè)f（x）=

x2(x≥-1) - 1 x (x＜-1)

，已知方程f²（x）+af（x）+b=0恰好有三個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：畫出f（x）=

x2(x≥-1) - 1 x (x＜-1)

的圖象，令t=f（x），則可將方程f²（x）+af（x）+b=0恰好有三個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為t²+at+b=0只有一個(gè)實(shí)根t₀，滿足t₀∈（0，1），或t²+at+b=0有兩個(gè)實(shí)根t₁，t₂，滿足t₀=1，t₂∈（1，+∞）或t₂=0，進(jìn)而求出a的取值范圍．

解答： 解：f（x）=

x2(x≥-1) - 1 x (x＜-1)

的圖象如下圖所示：
，
令t=f（x），若方程f²（x）+af（x）+b=0恰好有三個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則：
t²+at+b=0只有一個(gè)實(shí)根t₀，滿足t₀∈（0，1）
或t²+at+b=0有兩個(gè)實(shí)根t₁，t₂，滿足t₀=1，t₂∈（1，+∞）或t₂=0，
若t²+at+b=0只有一個(gè)實(shí)根t₀，滿足t₀∈（0，1），則-

a

2

∈（0，1），解得：a∈（-2，0），且a²-4b=0，
若t²+at+b=0有兩個(gè)實(shí)根t₁，t₂，滿足t₀=1，t₂∈（1，+∞）或t₂=0，則b=0，-a∈（1，+∞），解得：a∈（-∞，-1），且b=0，
綜上所述：當(dāng)a²-4b=0時(shí)，a的取值范圍是a∈（-2，0），
當(dāng)b=0時(shí)，a的取值范圍是（-∞，-1）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．