Question

定義：如果數(shù)列{a_n}的任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則稱{a_n}為“三角形”數(shù)列．對于“三角形”數(shù)列{a_n}，如果函數(shù)y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍為一個“三角形”數(shù)列，則稱y=f（x）是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”，（n∈N^*）．
（Ⅰ）已知數(shù)列{c_n}的首項為2010，S_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，且滿足4S_n+1-3S_n=8040，證明{c_n}是“三角形”數(shù)列；
（Ⅱ）已知{a_n}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，若f（x）=k^x，（k＞1）是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）先利用條件求出數(shù)列{c_n}的通項公式，再證明其滿足“三角形”數(shù)列的定義即可；
（Ⅱ）先由條件得{a_n}是三角形數(shù)列，再利用f（x）=k^x，（k＞1）是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”，得到kⁿ+kⁿ⁺¹＞kⁿ⁺²，解得k的取值范圍．

解答： 證明：（Ⅰ）由4S_n+1-3S_n=8040得4S_n-3S_n-1=8040，兩式相減得4c_n+1-3c_n=0
所以，c_n=2010•(

3

4

)n-1，
經(jīng)檢驗，此通項公式滿足4S_n+1-3S_n=8040 （7分）
顯然c_n＞c_n+1＞c_n+2，因為c_n+1+c_n+2=2010•(

3

4

)n+2010(

3

4

)n+1=2010•(

3

4

)n-1＞c_n，
所以{c_n}是“三角形”數(shù)列；
（Ⅱ）顯然a_n=n+1，a_n+a_n+1＞a_n+2對任意正整數(shù)都成立，
即{a_n}是三角形數(shù)列．（2分）
因為k＞1，顯然有f（a_n）＜f（a_n+1）＜f（a_n+2），
由f（a_n）+f（a_n+1）＞f（a_n+2）得kⁿ+kⁿ⁺¹＞kⁿ⁺²，解得k＜

1+ 5

2

．
所以當k∈（1，

1+ 5

2

）時，f（x）=k^x是數(shù)列{a_n}的“保三角形函數(shù)”．

點評：本題是在新定義下對數(shù)列的綜合考查．關于新定義的題型，在作題過程中一定要理解定義，并會用定義來解題．