Question

已知函數(shù).()
（1）當(dāng)時，試確定函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)在上的最小值；
（3）試證明：.

Answer 1

（1）當(dāng)時，，，
則，                1分
∵當(dāng)時，，當(dāng)時，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。         3分
（2）∵，
①當(dāng)時，∵，∴
函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴           5分
②當(dāng)時，令得
當(dāng)即時，對，有；即函數(shù)在上單調(diào)遞減；
對，有，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；
∴；            7分
當(dāng)即時，對有，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；
∴；               8分
綜上得            9分
（3）注意，
令，（）則，
∴要證只需證（），

試題分析：（1）當(dāng)時，，，
則，                1分
∵當(dāng)時，，當(dāng)時，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。         3分
（2）∵，
①當(dāng)時，∵，∴
函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴           5分
②當(dāng)時，令得
當(dāng)即時，對，有；即函數(shù)在上單調(diào)遞減；
對，有，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；
∴；            7分
當(dāng)即時，對有，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；
∴；               8分
綜上得            9分
（3），          10分
令，（）則，
∴要證只需證（），        12分
由（1）知當(dāng)時，
∴，即，         13分
∵，∴上式取不到等號
即，∴.               14分
點(diǎn)評：典型題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中的基本問題。本題（III）應(yīng)用分析法證明不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的最值，使問題得解。本題總體難度較大。