Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁=2，a₃-a₂=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：bn=log3(

3n

2

)+log3an，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出等比數(shù)列的公比，由已知列式求出公比，直接代入等比數(shù)列的通項公式得答案；
（2）把an=2×3n-1代入bn=log3(

3n

2

)+log3an，化簡后得到數(shù)列{b_n}的通項公式，然后利用分組求和求得數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₁=2，a₃-a₂=12，
得2q²-2q-12=0，即q²-q-6=0．
解得q=3或q=-2，
∵q＞0，∴q=-2不合題意舍去，
∴an=2×3n-1；
（2）由bn=log3(

3n

2

)+log3an，且an=2×3n-1，得
b_n=log3(

3n

2

×2×3n-1)=log332n-1=2n-1，
∴數(shù)列{b_n}是首項b₁=1，公差d=2的等差數(shù)列，
∴S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）=

2(3n-1)

3-1

+

n(1+2n-1)

2

=3ⁿ-1+n²．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的通項公式，訓練了數(shù)列的分組求和，是中檔題．