Question

（2012•順義區(qū)二模）設(shè)數(shù)列{a_n}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁=3，a₃=2a₂+9
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…+log₃a_n，求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=3，a₃=2a₂+9，設(shè)公比為q，則有 3q²=2×3×q+9，解得 q的值，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由于b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…+log₃a_n=log₃ （a₁•a₂•a₃…a_n），把通項(xiàng)公式代入，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)可得b_n=

n(n+1)

2

，可得

1

bn

=

2

n(n+1)

，用裂項(xiàng)法求得數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁=3，a₃=2a₂+9，設(shè)公比為q，
則 3q²=2×3×q+9，解得 q=3，或 q=-1（舍去），故a_n=3×3ⁿ¹=3ⁿ．
（Ⅱ）∵b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…+log₃a_n=log₃ （a₁•a₂•a₃…a_n）
=log₃ 3^{1+2+3+••+n}=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
故有

1

bn

=

2

n(n+1)

=2[

1

n

-

1

n+1

]，
故有 S_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，用裂項(xiàng)法求和，
求出公比，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．