Question

已知

a

•

b

=0，向量

c

滿足（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，|

a

-

b

|=5，|

a

-

c

|=3，則

a

•

c

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由

a

•

b

=0，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．可設(shè)

a

=（m，0），

b

=（0，n），

c

=（x，y），由|

a

-

b

|=5，m²+n²=25．記此圓為⊙M．根據(jù)向量

c

滿足（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，說(shuō)明點(diǎn)C在⊙M上．
由|

AC

|=|

c

-

a

|=3，可得|

BC

|=|

c

-

b

|=4，過(guò)點(diǎn)C分別作CD⊥y軸，CE⊥x軸，垂足分別為D，E．設(shè)∠CBD=θ，則∠OAC=θ．可得x=4sinθ=m-3cosθ，

a

•

c

=mx=10sin（2θ-φ）+8，即可得出．

解答： 解：由

a

•

b

=0，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
可設(shè)

a

=（m，0），

b

=（0，n），

c

=（x，y），
∵|

a

-

b

|=5，
∴m²+n²=25．記此圓為⊙M．
∵向量

c

滿足（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，
∴x²+y²-mx-ny=0，
化為(x-

m

2

)2+(y-

n

2

)2=

25

4

．
說(shuō)明點(diǎn)C在⊙M上．
∴|

AC

|=|

c

-

a

|=3，
∴|

BC

|=|

c

-

b

|=4，
過(guò)點(diǎn)C分別作CD⊥y軸，CE⊥x軸，垂足分別為D，E．
設(shè)∠CBD=θ，則∠OAC=θ．
則x=4sinθ=m-3cosθ，
∵

a

•

c

=mx=4sinθ（4sinθ+3cosθ）
=16sin²θ+12sinθcosθ
=8（1-cos2θ）+6sin2θ
=10sin（2θ-φ）+8≤18．
∴

a

•

c

的最大值為18．
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)量積的性質(zhì)、三角函數(shù)代換等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．