【題目】已知為坐標原點，橢圓： 的左焦點是，離心率為，且上任意一點到的最短距離為.

（1）求的方程；

（2）過點的直線（不過原點）與交于兩點、， 為線段的中點.

（i）證明：直線與的斜率乘積為定值；

（ii）求面積的最大值及此時的斜率.

【答案】（1）；（2）（i）見解析；（ii）面積的最大值是，此時的斜率為.

【解析】試題分析：（1）由題設可以得到關于的方程組為，從而，故，所以橢圓的方程為.（2）設直線為： ， ， ， ，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程并消元后可以得到，利用韋達定理得到，故，從而為定值.利用弦長公式和點到直線的距離可得，令，從而，最后利用基本不等式可以得到面積的最大值為且此時也就是.

解析：（1）由題意得，解得，∴， ，∴橢圓的方程為.

（2）（i）設直線為： ， ， ， ，由題意得，

∴，∴，即，由韋達定理得： ， ，∴， ，∴，∴，∴直線與的斜率乘積為定值.

（ii）由（i）可知：

，又點到直線的距離，

∴的面積

，令，則，∴ ，當且僅當時等號成立，此時，且滿足，∴面積的最大值是，此時的斜率為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，側面是邊長為2的菱形，且， ，四棱錐的體積為2，點在平面內(nèi)的正投影為，且在上，點在線段上，且．

（Ⅰ）證明：直線平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某廠家舉行大型的促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品當促銷費用為萬元時，銷售量萬件滿足（其中， 為正常數(shù)），現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件還需投入成本萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為萬元/萬件.

（1）將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù)；

（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，等邊三角形的邊長為，且其

三個頂點均在拋物線上.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）設動直線與拋物線相切于點，與直線

相交于點.證明以為直徑的圓恒過軸上某定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一裝有水的直三棱柱ABC-A1B1C1容器(厚度忽略不計),上下底面均為邊長為5的正三角形,側棱為10,側面AA1B1B水平放置,如圖所示,點D、E、F、G分別在棱CA、CB、C1B1、C1A1上,水面恰好過點D，E，F，C,且CD=2

(1)證明:DE∥AB;

(Ⅱ)若底面ABC水平放置時,求水面的高

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖,某大型景區(qū)有兩條直線型觀光路線， , ,點位于的平分線上，且與頂點相距1公里.現(xiàn)準備過點安裝一直線型隔離網(wǎng) (分別在和上)，圍出三角形區(qū)域，且和都不超過5公里.設， (單位：公里).

（Ⅰ）求的關系式；

（Ⅱ）景區(qū)需要對兩個三角形區(qū)域， 進行綠化.經(jīng)測算， 區(qū)城每平方公里的綠化費用是區(qū)域的兩倍，試確定的值,使得所需的總費用最少.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓： 的左、右焦點分別為，上頂點為A，過點A與垂直的直線交軸負半軸于點，且，若過， ， 三點的圓恰好與直線相切．過定點的直線與橢圓交于， 兩點（點在點， 之間）．

（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若實數(shù)滿足，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4—4:坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系xOy 中，曲線C的參數(shù)方程為 (是參數(shù),0≤≤π),以O 為極點,以x 軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.

(Ⅰ)求曲線C 的極坐標方程；

(Ⅱ)直線l1,的極坐標方程是2psin(θ+)+=0,直線l2:θ =與曲線C的交點為P，與直線l1的交點為Q,求線段PQ的長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司租賃甲、乙兩種設備生產(chǎn)A，B兩類產(chǎn)品，甲種設備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件。已知設備甲每天的租賃費為200元，設備乙每天的租賃費為300元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件，B類產(chǎn)品140件，所需租賃費最少為多少元？

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