Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+（1-b）x²-a（b-3）x+b-2的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是-3，則不等式組

x-ay≥0 x-by≥0

所確定的平面區(qū)域在x²+y²=4內(nèi)的面積為（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  π

  2

• C、π
• D、2π

Answer 1

考點：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域,導(dǎo)數(shù)的幾何意義

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件求出a，b的值以及函數(shù)f（x）的表達式，結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫出其表示的平面區(qū)域，再利用圓的方程畫出圖形，最后利用扇形面積公式計算即可．

解答： 解：因為函數(shù)f（x）的圖象過原點，所以f（0）=0，即b=2．
則f（x）=

1

3

x³-x²+ax，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²-2x+a，
因為原點處的切線斜率是-3，
即f′（0）=-3，
所以f′（0）=a=-3，
故a=-3，b=2，
所以不等式組

x-ay≥0 x-by≥0

為

x+3y≥0 x-2y≥0

則不等式組

x+3y≥0 x-2y≥0

確定的平面區(qū)域在圓x²+y²=4內(nèi)的面積，
如圖陰影部分表示，
所以圓內(nèi)的陰影部分扇形即為所求．
∵k_OB=-

1

3

，k_OA=

1

2

，
∴tan∠BOA=

1 2 -(- 1 3 )

1+ 1 2 ×(- 1 3 )

=

5 6

5 6

=1，
∴∠BOA=

π

4

，
∴扇形的圓心角為

π

4

，扇形的面積是圓的面積的八分之一，
∴圓x²+y²=4在區(qū)域D內(nèi)的面積為

1

8

×4×π=

π

2

，
故選：B

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件求出參數(shù)a，b的是值，然后借助不等式區(qū)域求解面積是解決本題的關(guān)鍵．