Question

【題目】已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，.

（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足，求和；

（3）是否存在正整數(shù)，，，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足要求的，，，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在或，，滿足要求.

【解析】試題分析：

（1）由遞推關(guān)系可得，則，是等差數(shù)列，其中公差為1，且，通項(xiàng)公式為，數(shù)列是等比數(shù)列，其中首項(xiàng)為，公比為，故.

（2）結(jié)合(1)的結(jié)論可得，則，

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，則，

而數(shù)列從第二項(xiàng)起單調(diào)遞減，分類討論：

當(dāng)時(shí)，，若，無(wú)解；若，符合要求，若，無(wú)解； 故，此時(shí)，可得，.

試題解析：

（1）①，②，

②-①得：，即，

因?yàn)?/span>是正數(shù)數(shù)列，所以，即，

所以是等差數(shù)列，其中公差為1，

在中，令，得，

所以，

由得，

所以數(shù)列是等比數(shù)列，其中首項(xiàng)為，公比為，

所以.

（2），裂項(xiàng)得，

所以，

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，則，即，

因?yàn)?/span>，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，

若，則，此時(shí)無(wú)解；

若，則，因?yàn)?/span>從第二項(xiàng)起遞減，故，所以符合要求，

若，則，即，不符合要求，此時(shí)無(wú)解；

當(dāng)時(shí)，一定有，否則若，則，即，矛盾，

所以，此時(shí)，令，則，所以，，

綜上得：存在或，，滿足要求.