【題目】在中,,且,若以為左右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn),探究在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值?若存在,試求出定值和點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)答案見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)余弦定理以及三角形面積公式得,再根據(jù)橢圓定義得,最后根據(jù),求得b,(2)先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示,再聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn),最后根據(jù)等式恒成立條件求定點(diǎn)以及定值.
試題解析:(1)在中,由余弦定理
.
又,∴,
代入上式得,即橢圓長(zhǎng)軸,焦距,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè)直線方程,聯(lián)立,
得,,
設(shè)交點(diǎn),,∴,.
假設(shè)軸上存在定點(diǎn),使得為定值,
∴
要使為定值,則的值與無(wú)關(guān),∴,
解得,此時(shí)為定值,定點(diǎn)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,數(shù)列滿足,.
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足,求和;
(3)是否存在正整數(shù),,,使得,,成等差數(shù)列?若存在,求出所有滿足要求的,,,若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 平面, 平面, 是等邊三角形, ,
是的中點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)若直線與平面所成角的正切值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,考慮下列命題:①圓上的點(diǎn)到的距離的最小值為;②圓上存在點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等;③已知點(diǎn),在圓上存在一點(diǎn),使得以為直徑的圓與直線相切,其中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(是參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的直角坐標(biāo)方程和的普通方程;
(2)與相交于兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)為上異于的一點(diǎn),當(dāng)面積最大時(shí),求點(diǎn)到的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在北上廣深等十余大中城市,一款叫“一度用車”的共享汽車給市民們提供了一種新型的出行方式.2020年,懷化也將出現(xiàn)共享汽車,用戶每次租車時(shí)按行駛里程(1元/公里)加用車時(shí)間(0.1元/分鐘)收費(fèi),李先生家離上班地點(diǎn)10公里,每天租用共享汽車上下班,由于堵車因素,每次路上開(kāi)車花費(fèi)的時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量,根據(jù)一段時(shí)間統(tǒng)計(jì)40次路上開(kāi)車花費(fèi)時(shí)間在各時(shí)間段內(nèi)的情況如下:
時(shí)間(分鐘) | |||||
次數(shù) | 8 | 14 | 8 | 8 | 2 |
以各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率,假設(shè)每次路上開(kāi)車花費(fèi)的時(shí)間視為用車時(shí)間,范圍為分鐘.
(Ⅰ)若李先生上、下班時(shí)租用一次共享汽車路上開(kāi)車不超過(guò)45分鐘,便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇,設(shè)是4次使用共享汽車中最優(yōu)選擇的次數(shù),求的分布列和期望;
(Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽車2次,一個(gè)月(以20天計(jì)算)平均用車費(fèi)用大約是多少(同一時(shí)段,用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面,為直角梯形,,,,,過(guò)點(diǎn)作平面平行于平面,平面與棱,,,分別相交于點(diǎn),,,.
(1)求的長(zhǎng)度;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn),是圓上任意一點(diǎn).線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)的軌跡是什么曲線?并求出其軌跡方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于、兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,求的面積的最大值.
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