Question

【題目】己知橢圓: 上動點PQ,O為原點;

(1)若,求證:為定值;

(2)點,若,求證:直線過定點;

(3)若,求證:直線為定圓的切線;

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析

【解析】

（1）設(shè)，由題意可知，將代入橢圓方程，求得，利用直線的斜率公式，即可求證為定值；
（2）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可求得的值，則直線過定點；
（3）設(shè)，則方程為：，分別代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及三角形的性質(zhì)，到直線的距離為定值，即可求得直線為定圓

的切線，再驗證中有一個斜率不存在的情況即可.

證明：（1）由題意可知：設(shè)，

，
由在橢圓上，則，

代入得：

整理得：，
則
∴為定值；
（2）易知，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，
，消去，整理得，
則 ，
由，且直線的斜率均存在，
，整理得，
因為，
所以，
整理得，
.
解得，或（舍去）.
∴直線恒過定點；
（3）當(dāng)斜率都存在時，

設(shè)方程為：，，
則方程為：，
聯(lián)立，可得：，
，
同理可得：
則到直線的距離，即為斜邊上的高，

，（定值）.
當(dāng)的斜率有一個不存在時，

此時直線為連接長軸和短軸端點的一條直線，方程為，

圓心到其距離為，

綜合得：直線為定圓的切線.