【題目】已知橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，為橢圓上的兩個動點，直線，的斜率分別為，，當時，的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由.

【答案】（1）（2）是，定值.

【解析】

（1）由題設(shè)條件，列出方程組，結(jié)合，求得的值，即可求解.

（2）設(shè)，，當直線的斜率存在時，設(shè)方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式，及三角形的面積公式，求得三角形的面積；當直線的斜率不存在時，結(jié)合橢圓的對稱性和三角形的面積公式，即可求解.

（1）由橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點為，

可得，，即，解得，，

故橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，

當直線的斜率存在時，設(shè)方程為，

由，消可得，，

則，即，

且，，

所以

.

又由點到直線的距離，

所以.

又因為，

所以，

化簡整理可得，滿足，

代入，

當直線的斜率不存在時，由于，

考慮到，關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)，，

則點，的坐標分別為，，

此時，

綜上可得，的面積為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直三棱柱，，F、E分別是和的中點.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，以軸為非負半軸為極軸建立極坐標系，兩坐標系相同的長度單位.圓的方程為被圓截得的弦長為.

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）設(shè)圓與直線交于點，若點的坐標為，且，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,，其焦距為，點E為橢圓的上頂點，且．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)圓的切線l交橢圓C于A，B兩點（O為坐標原點），求證；

（3）在（2）的條件下，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有一片產(chǎn)量很大的水果種植園，在臨近成熟時隨機摘下某品種水果100個，其質(zhì)量（均在l至11kg）頻數(shù)分布表如下（單位: kg）：

分組

頻數(shù)

10

15

45

20

10

以各組數(shù)據(jù)的中間值代表這組數(shù)據(jù)的平均值，將頻率視為概率.

（1）由種植經(jīng)驗認為，種植園內(nèi)的水果質(zhì)量近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差.請估算該種植園內(nèi)水果質(zhì)量在內(nèi)的百分比；

（2）現(xiàn)在從質(zhì)量為 的三組水果中用分層抽樣方法抽取14個水果，再從這14個水果中隨機抽取3個．若水果質(zhì)量的水果每銷售一個所獲得的的利潤分別為2元，4元，6元，記隨機抽取的3個水果總利潤為元，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附： ，則.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法：

①分類變量與的隨機變量越大，說明“與有關(guān)系”的可信度越大；

②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和；

③在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；

④若變量和滿足關(guān)系，且變量與正相關(guān)，則與也正相關(guān).

正確的個數(shù)是________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了迎接2019年全國文明城市評比，某市文明辦對市民進行了一次文明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.每一位市民有且僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：

組別

頻數(shù)

25

150

200

250

225

100

50

（1）由頻數(shù)分布表可以認為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表），請利用正態(tài)分布的知識求；

（2）在（1）的條件下，文明辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

（i）得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；

（ii）每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為：

獲贈的隨機話費（單位：元）

20

40

概率

現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：①；

②若，則，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】春節(jié)期間爆發(fā)的新型冠狀病毒（COVID-19）是新中國成立以來感染人數(shù)最多的一次疫情.一個不知道自己已感染但處于潛伏期的甲從疫區(qū)回到某市過春節(jié)，回到家鄉(xiāng)后與朋友乙、丙、丁相聚過，最終乙、丙、丁也感染了新冠病毒.可以肯定的是乙受甲感染的，丙是受甲或乙感染的，假設(shè)他受甲和受乙感染的概率分別是和.丁是受甲、乙或丙感染的，假設(shè)他受甲、乙和丙感染的概率分別是、和.在這種假設(shè)之下，乙、丙、丁中直接受甲感染的人數(shù)為.

（1）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）該市在發(fā)現(xiàn)在本地出現(xiàn)新冠病毒感染者后，迅速采取應(yīng)急措施，其中一項措施是各區(qū)必須每天及時，上報新增疑似病例人數(shù).區(qū)上報的連續(xù)天新增疑似病例數(shù)據(jù)是“總體均值為，中位數(shù)”，區(qū)上報的連續(xù)天新增疑似病例數(shù)據(jù)是“總體均值為，總體方差為”.設(shè)區(qū)和區(qū)連續(xù)天上報新增疑似病例人數(shù)分別為和，和分別表示區(qū)和區(qū)第天上報新增疑似病例人數(shù)（和均為非負）.記，.

①試比較和的大��；

②求和中較小的那個字母所對應(yīng)的個數(shù)有多少組？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的結(jié)構(gòu)如圖所示，開口為正六邊形ABCDEF，側(cè)棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且與平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三個全等的菱形構(gòu)成.瑞士數(shù)學(xué)家克尼格利用微積分的方法證明了蜂房的這種結(jié)構(gòu)是在相同容積下所用材料最省的，因此，有人說蜜蜂比人類更明白如何用數(shù)學(xué)方法設(shè)計自己的家園.英國數(shù)學(xué)家麥克勞林通過計算得到∠B′C′D′＝109°28′16'.已知一個房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08'，則此蜂房的表面積是_____.

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