Question

已知函數(shù)f（x）=

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x²-2x（x∈R），g（x）=m+4ln（x+1）（-1＜x≤4）．
（Ⅰ）求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且僅有兩個不同的交點？若存在，求出m的值或范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數(shù)，求出切線的斜率和切點坐標，應用點斜式方程寫出切線方程；
（Ⅱ）遇到關于兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)的問題，一般是構造新函數(shù)，題目轉化為研究函數(shù)的零點問題，通過導數(shù)得到函數(shù)的最值，把函數(shù)的最值同0進行比較，得到結果．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

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x²-2x的導數(shù)f′（x）=x-2，
則切線的斜率為1-2=-1，切點為（1，-

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），
∴f（x）在x=1處的切線方程為：y+

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=-（x-1）即2x+2y+1=0；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點，
即函數(shù)m（x）=f（x）-g（x）的圖象與x軸（-1＜x≤4）有且只有兩個不同的交點．
∵m（x）=

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x²-2x-4ln（x+1）-m，m′（x）=

(x-3)(x+2)

x+1

（-1＜x≤4）
當x∈（-1，3）時，m'（x）＜0，m（x）是減函數(shù)；
當x∈（3，4）時，m'（x）＞0，m（x）是增函數(shù)；
∴m（x）_極小值=m（3）=-m-8ln2-

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．
又m（4）=-4ln5，
∴要使函數(shù)m（x）=f（x）-g（x）的圖象與x軸（-1＜x≤4）有且只有兩個不同的交點，
必須且只須m（4）＞0且m（3）＜0，
即-8ln2-

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＜m＜-4ln5．
∴存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點，
且m的取值范圍為（-8ln2-

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，-4ln5）．

點評：本小題主要考查函數(shù)的單調性、極值、最值等基本知識，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質的方法，考查運算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類與整合等數(shù)學思想方法和分析問題、解決問題的能力．