如圖，△ABC的兩邊AB=2，AC=1，點D在BC邊上，且滿足
|
AB
|
|
AC
|
=
|
BD
|
|
DC
|
，點M為AD的中點，過點M的直線l分別交AB、AC于點P、Q，已知：
AP
=λ
AB
，
AQ
=μ
AC
（其中0＜λ≤1，0＜μ≤1），△ABC和△APQ的面積分別為S1、S2．
（Ⅰ）求△ABC的面積的最大值；
（Ⅱ）求證：
1
λ
+
2
μ
的值為一個定值；
（Ⅲ）求
S2
S1
的取值范圍．
考點：向量在幾何中的應用,三角形的面積公式
專題：解三角形,平面向量及應用
分析：（1）由利用三角形的面積公式結合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當∠BAC=90°時，三角形ABC面積最大；
（2）由
|
AB
|
|
AC
|
=
|
BD
|
|
DC
|
可得線段AD是∠BOC的角平分線，則BD=
2
3
BC，則向量
AD
可用向量
AC
，
AB
表示，則
AM
也可用基底表示，再根據(jù)P，M，Q三點共線列出關于λ，μ的方程，問題獲解；
（3）利用三角形的面積公式容易將面積之比轉(zhuǎn)化為邊長之比，結合第（2）問的結果將比值轉(zhuǎn)化為關于λ或μ的函數(shù)求值域．
解答： 解：（1）由已知得S△ABC=
1
2
AB×AC×sin∠BAC=sin∠BAC，
又∵∠BAC∈（0，π），∴當∠BAC=
π
2
時，（S△ABC）max=1．
（2）∵△ABC的兩邊AB=2，AC=1，點D在BC邊上，且滿足
|
AB
|
|
AC
|
=
|
BD
|
|
DC
|
=
2
1
，
∴
BD
=
2
3
BC
=
2
3
(
AC
-
AB
)，∴
AD
=
AB
+
BD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，
又∵M是AD的中點，∴
AM
=
1
6
AB
+
1
3
AC
 ①
∵P，M，Q三點共線，∴
PM
=t
PQ
，即
AM
-
AP
=t(
AQ
-
AP
) ②
又∵
AP
=λ
AB
 ③，
AQ
=μ
AC
 ④，將①③④代入②式化簡得
(
1
6
-λ)
AB
+
1
3
AC
=μt
AC
-λt
AB
，又
AB
，
AC
不共線，
∴
1
6
-λ=-λt
1
3
=μt
兩式相除消去t整理后得
1
λ
+
2
μ
=6（定值）．
（3）由題意S2=
1
2
|
AP
||
AQ
|sin∠PAQ，S1=
1
2
|
AB
||
AC
|sin∠BAC，
∴
S2
S1
=
|
AP
||
AQ
|
|
AB
||
AC
|
=λμ，又
1
λ
+
2
μ
=6，∴λ=
μ
6μ-2
≤1得
2
5
≤μ≤1，
∴
S2
S1
=
μ2
6μ-2
，（
2
5
≤μ≤1）
令ω=
μ2
6μ-2
，∵ω′=
6μ(μ-
2
3
)
(6μ-2)2
，
當
2
5
≤μ≤
2
3
時，ω′＜0，ω（μ）遞減，
當
2
3
＜μ≤1時，ω′＞0，ω（μ）遞增，
∴ωmin=ω(
2
3
)=
2
9
，又ω(1)=
1
4
，ω(
2
5
)=
2
5
∴ωmax=
2
5
，
∴
S2
S1
取值范圍是[
2
9
，
2
5
]．
點評：本題綜合性較強，以考查向量在幾何中的應用為載體，考查了函數(shù)的值域的求法等等，有一定難度．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：
x2
m2
+
y2
n2
=1（m＞n＞0）與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的公共焦點，C1，C2的離心率分別記為e1，e2．A是C1，C2在第一象限的公共點，若C2的一條漸近線是線段AF1的中垂線，則
1
e
2
1
+
1
e
2
2
=（　　）
A、2
B、
5
2
C、
7
2
D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知p：∅⊆{0}；q：{1}∈{1，2}．由它們構成的以下三個命題中，真命題有（　　）
①p∧q  ②p∨q  ③￢p．
A、1個B、2個C、3個D、0個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋擲一枚骰子，得到偶數(shù)點的概率是（　�。�
A、
1
6
B、
1
4
C、
1
3
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x∈R，求證：x6-x5+x2-x+1＞0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

化簡：
①
cos(α-
π
2
)
sin(
5π
2
+α)
•sin（α-2π）•cos（2π-α）
②cos2（-α）-
tan(360°+α)
sin(-α)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（x+
7π
4
）+cos（x-
3π
4
），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和最值；
（2）已知cos（β-α）=
4
5
，cos（β+α）=-
4
5
，（0＜α＜β≤
π
2
），求證：[f（β）]2-2=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2-2x（x∈R），g（x）=m+4ln（x+1）（-1＜x≤4）．
（Ⅰ）求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且僅有兩個不同的交點？若存在，求出m的值或范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給定數(shù)列{an}：
1
，
1+
2
，
1+
2+
3
，…，
1+
2+
3+
…+
n
…
（1）判斷a2是否為有理數(shù)，證明你的結論；
（2）是否存在常數(shù)M＞0．使an＜M對n∈N*都成立？若存在，找出M的一個值，并加以證明； 若不存在，說明理由．

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