已知函數(shù)，，.
（1）求的最大值；
（2）若對，總存在使得成立，求的取值范圍；
（3）證明不等式：.

（1）0；（2）；（3）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查思維能力、創(chuàng)新意識，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想.第一問，是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)最值；第二問，雖然是恒成立問題，但經(jīng)過分析可以轉(zhuǎn)化成求和，通過討論確定每段區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性和最值；第三問，先通過觀察湊出所要證明的表達(dá)式的形式，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，最后通過放縮法得到結(jié)論.
試題解析： （1）∵ ()
∴  ∴當(dāng)時，，時 
∴  ∴的最大值為0
（2），使得成立，等價于
由（1）知，當(dāng)時，在時恒為正，滿足題意.
當(dāng)時，，令解得
∴在及上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
若即時，，∴ ∴ ∴，
若即時，在,，
而，在為正，在為負(fù)，
∴，
當(dāng)而時不合題意，
綜上的取值范圍為 .
（3）由（1）知即  ()
取  ∴   ∴即
∴
.
考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求最值；2.恒成立問題；3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；4.放縮法.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)，其中.
（1)若在處取得極值，求常數(shù)的值；
（2）設(shè)集合，，若元素中有唯一的整數(shù)，求的取值范圍.

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已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；
（2）若直線過點(diǎn)，并且與曲線相切，求直線的方程；
（3）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)在上的最小值（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

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已知函數(shù)（）
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求的值；
（2）當(dāng)時，若直線與曲線在上有公共點(diǎn)，求的取值范圍.

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已知函數(shù),
⑴求證函數(shù)在上的單調(diào)遞增；
⑵函數(shù)有三個零點(diǎn)，求的值；
⑶對恒成立，求a的取值范圍。

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已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：對任意的 ，有.

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已知函數(shù)f(x)＝x2－mlnx
(1)若函數(shù)f(x)在(，＋∞)上是遞增的，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)當(dāng)m＝2時，求函數(shù)f(x)在[1，e]上的最大值和最小值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（Ⅰ）若對任意，使得恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）證明：對，不等式成立.

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