【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+pn,且a4,a7,a12成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
【答案】(1)an=2n+1,n∈N*.(2)Tn.
【解析】
(1)根據(jù)公式an,初步計(jì)算出數(shù)列{an}的含有參數(shù)p的通項(xiàng)公式,然后將a4,a7,a12代入通項(xiàng)公式,并根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)于p的方程,解出p的值,即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)根據(jù)第(1)題的結(jié)果計(jì)算出Sn的表達(dá)式,以及數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,然后將通項(xiàng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,最后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法可計(jì)算出前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)由題意,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1+p,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1=n2+pn﹣(n﹣1)2﹣p(n﹣1)=2n﹣1+p,
∵當(dāng)n=1時(shí),a1=1+p也滿足上式,
∴an=2n﹣1+p,
∵a4,a7,a12成等比數(shù)列,∴,
∴,解得p=2,
∴an=2n+1,n∈N*.
(2)由(1)知,Sn=n2+2n,
則
=1
=1
,
∴Tn=b1+b2++bn
=[]+[]++[]
=n()
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若是函數(shù)的零點(diǎn),是函數(shù)的零點(diǎn).
(1)比較與的大;
(2)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋中裝有黑球和白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白球的概率為,現(xiàn)有甲,乙二人從袋中輪流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到兩人中有一人取到白球即終止,每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的.
(Ⅰ)求袋中原有白球的個(gè)數(shù):
(Ⅱ)求取球次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年春季,某出租汽車公司決定更換一批新的小汽車以代替原來報(bào)廢的出租車,現(xiàn)有采購成本分別為萬元/輛和萬元/輛的兩款車型,根據(jù)以往這兩種出租車車型的數(shù)據(jù),得到兩款出租車車型使用壽命頻數(shù)表如下:
(1)填寫下表,并判斷是否有的把握認(rèn)為出租車的使用壽命年數(shù)與汽車車型有關(guān)?
(2)從和的車型中各隨機(jī)抽取車,以表示這車中使用壽命不低于年的車數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)根據(jù)公司要求,采購成本由出租公司負(fù)責(zé),平均每輛出租車每年上交公司萬元,其余維修和保險(xiǎn)等費(fèi)用自理.假設(shè)每輛出租車的使用壽命都是整數(shù)年,用頻率估計(jì)每輛出租車使用壽命的概率,分別以這輛出租車所產(chǎn)生的平均利潤作為決策依據(jù),如果你是該公司的負(fù)責(zé)人,會選擇采購哪款車型?
附:,.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在多面體中,正方形和矩形互相垂直,,分別是和的中點(diǎn),.
(Ⅰ)求證:平面.
(Ⅱ)在邊所在的直線上存在一點(diǎn),使得平面,求的長;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=2.
(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)曲線C2上兩點(diǎn)與點(diǎn)B(ρ2,α),求△OAB面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在傳染病學(xué)中,通常把從致病刺激物侵人機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起,到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛伏期. 一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息,得到如下表格:
潛伏期(單位:天) | |||||||
人數(shù) |
(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)x (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表) ;
(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響,為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系,以潛伏期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣,從上述1000名患者中抽取200人,得到如下列聯(lián)表
潛伏期天 | 潛伏期天 | 總計(jì) | |
歲以上(含歲) | |||
歲以下 | |||
總計(jì) |
(3)以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率,代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率,每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨(dú)立,為了深入研究,該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20名患者,其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能(即概率最大)是多少?
附:
,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)正方體的平面展開圖如圖所示,在這個(gè)正方體中,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),,分別是線段,(不包含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn),則下列說法正確的是( )
A.在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,存在
B.在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,存在
C.三棱錐的體積為定值
D.三棱錐的體積不為定值
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