Question

已知函數(shù)f(x)=(a-

1

2

)x2-lnx(a∈R)
（I）當(dāng)a=l時，求f（x）在（0，e]上八最小值；
（Ⅱ）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）＜2ax恒成立，求實數(shù)a八取值范圍．

Answer 1

（I）當(dāng)a=1時，f(a)=

1

2

a2-1na（a＞0），∴f′(a)=a-

1

a

∴函數(shù)在（0，1）上，f′（a）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，在（1，你]上，f′（a）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴f（a）在（0，你]上的最小值為f（1）=

1

2

；
（Ⅱ）在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（a）＜2aa恒成立，即(a-

1

2

)a2-1na-2aa＜0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立
設(shè)g（a）=(a-

1

2

)a2-1na-2aa，則g′（a）=（a+1）（2a-1-

1

a

）
a∈（1，+∞）時，a+1＞0，0＜

1

a

＜1
①若2a-1≤0，即a≤

1

2

，g′（a）＜0，函數(shù)在（1，+∞）上為減函數(shù)，∴g（a）＜g（1）=-

1

2

-a，
只需-

1

2

-a≤0，即-

1

2

≤a≤

1

2

時，g（a）＜0恒成立；
②若0＜2a-1＜1，即

1

2

＜a＜1時，令g′（a）=0，得a=

1

2a-1

＞1，函數(shù)在（1，

1

2a-1

）上為減函數(shù)，（

1

2a-1

，+∞）為增函數(shù)，
∴g（a）∈（g（

1

2a-1

），+∞），不合題意；
③若2a-1≥1，即a≥1時，g′（a）＞0，函數(shù)在（1，+∞）上增減函數(shù)，∴g（a）∈（g（1），+∞），不合題意
綜上可知，-

1

2

≤a≤

1

2

時，g（a）＜0恒成立
∴實數(shù)a的取值范圍是[-

1

2

，

1

2

]．