Question

【題目】我們把定義在上，且滿足（其中常數(shù)，滿足，，）的函數(shù)叫做似周期函數(shù).

（1）若某個(gè)似周期函數(shù)滿足且圖像關(guān)于直線對(duì)稱，求證：函數(shù)是偶函數(shù)；

（2）當(dāng)，時(shí)，某個(gè)似周期函數(shù)在時(shí)的解析式為，求函數(shù)，的解析式；

（3）對(duì)于確定的且當(dāng)時(shí)，，試研究似周期函數(shù)在區(qū)間上是否可能是單調(diào)函數(shù)？若可能，求出的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）可能，

【解析】

（1）先閱讀新定義，再利用偶函數(shù)的定義證明即可；

（2）由時(shí)的解析式為，結(jié)合函數(shù)的周期求解即可；

（3）由分段函數(shù)在各段上的單調(diào)性，研究函數(shù)在整體上的單調(diào)性，從而得解.

解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則，

又函數(shù)滿足，則，用替換得，

則，又，，所以，

故函數(shù)是偶函數(shù)；

（2）似周期函數(shù)在時(shí)的解析式為，

當(dāng)時(shí)，，

，

故，；

（3）當(dāng)時(shí)，，

，

顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，

又當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，

此時(shí)，

若似周期函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則只能是增函數(shù)，

即，即，

故的取值范圍為.