Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），對任意x∈R，都有f（x+2）=-f（x）+f（1）成立，若函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于點（-1，0）對稱，則f（2014）=

 

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Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于（-1，0）對稱且由y=f（x+1）向右平移1個單位可得y=f（x）的圖象可知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱即函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，在已知條件中令x=-1可求f（1）及函數(shù)的周期，利用所求周期即可求解

解答： 解：∵函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于（-1，0）對稱且把y=f（x+1）向右平移1個單位可得y=f（x）的圖象，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（0，0）對稱，即函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0
∵f（x+2）=-f（x）+f（1）
令x=-1可得
f（1）=-f（-1）+f（1），
∴f（-1）=f（1）=0，
從而可得f（x+2）=-f（x）=f（-x），
即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)
∴f（2014）=f（503×2）=f（2）=-f（0）=0，
故答案為：0

點評：本題主要考出了函數(shù)的圖象的平移及函數(shù)圖象的對稱性的應用，利用賦值求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，函數(shù)周期的求解是解答本題的關(guān)鍵所在．