Question

【題目】已知點(diǎn)，，均在圓上.

（1）求圓的方程；

（2）若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求的長；

（3）設(shè)過點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn)，試問：是否存在直線，使得以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）和 .

【解析】

（1）根據(jù)圓心在，的中垂線直線上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，根據(jù)求得的值，從而可得結(jié)果；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理即可得結(jié)果；（3）驗(yàn)證直線的斜率不存在時(shí)符合題意，若斜率存在，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，根據(jù)列出關(guān)于的方程，求出的值，從而可得結(jié)果.

（1）依題知，圓心在，的中垂線直線上，

設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則，

兩邊平方，解得，即圓心，

半徑，

圓的方程為.

（2）圓心 到直線的距離為

，

.

（3）設(shè)，，依題意知：，且，的斜率均存在，

即，，

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，：，則，

滿足，故直線：滿足題意.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，

由消去得， ，

則，

由得， ，

即 ，解得，

直線的方程為.

綜上可知，存在滿足條件的直線和.