【題目】設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在區(qū)間[﹣2,2]上的最大值、最小值分別是M,m,集合A={x|f(x)=x}.
(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值;
(2)若A={1},且a≥1,記g(a)=M+m,求g(a)的最小值.

【答案】
(1)解:由f(0)=2可知c=2,

又A={1,2},故1,2是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的兩實(shí)根.

,解得a=1,b=﹣2

∴f(x)=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,

因?yàn)閤∈[﹣2,2],根據(jù)函數(shù)圖象可知,當(dāng)x=1時(shí),

f(x)min=f(1)=1,即m=1;

當(dāng)x=﹣2時(shí),f(x)max=f(﹣2)=10,即M=10


(2)解:由題意知,方程ax2+(b﹣1)x+c=0有兩相等實(shí)根x1=x2=1,

根據(jù)韋達(dá)定理得到: ,即 ,

∴f(x)=ax2+bx+c=ax2+(1﹣2a)x+a,x∈[﹣2,2]其對(duì)稱軸方程為x= =1﹣

又a≥1,故1﹣

∴M=f(﹣2)=9a﹣2

m=

則g(a)=M+m=9a﹣ ﹣1

又g(a)在區(qū)間[1,+∞)上為單調(diào)遞增的,∴當(dāng)a=1時(shí),g(a)min=


【解析】(1)由f(0)=2得到c的值,集合A的方程可變?yōu)閒(x)﹣x=0,因?yàn)锳={1,2},得到1,2是方程的解,根據(jù)韋達(dá)定理即可求出a和b,把a(bǔ)、b、c代入得到f(x)的解析式,在[﹣2,2]上根據(jù)函數(shù)的圖象可知m和M的值.(2)由集合A={1},得到方程f(x)﹣x=0有兩個(gè)相等的解都為1,根據(jù)韋達(dá)定理求出a,b,c的關(guān)系式,根據(jù)a大于等于1,利用二次函數(shù)求最值的方法求出在[﹣2,2]上的m和M,代入g(a)=m+M中得到新的解析式g(a)=9a﹣ ﹣1,根據(jù)g(a)的在[1,+∞)上單調(diào)增,求出g(a)的最小值為g(1),求出值即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,對(duì)稱軸方程為頂點(diǎn)坐標(biāo)是;當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)在(1)的條件下,若關(guān)于x方程|f(x+1)﹣1|=m|x﹣1|只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,求函數(shù)h(x)=2f(x+1)+x|x﹣m|+2m最小值.

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