Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極值2，若對(duì)于任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由奇函數(shù)的定義利用待定系數(shù)法求得d，再由x=-1時(shí)f（x）取得極值2．解得a，c從而確定函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極大值，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數(shù)，從而確定|f（x₁）-f（x₂）|的最小值，即可得到m的范圍，進(jìn)而得到最小值．

解答： 解：由奇函數(shù)的定義，應(yīng)有f（-x）=-f（x），x∈R
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d∴d=0，
因此，f（x）=ax³+cx，f'（x）=3ax²+c，
由條件f（-1）=2，為f（x）的極值，必有f'（-1）=0，
故

3a+c=0 -a-c=2

，解得a=1，c=-3
因此，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
f'（-1）=f'（1）=0
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（-∞，-1）上是增函數(shù)，
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f'（x）＜0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（-1，1）上是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
所以，f（x）在x=-1處取得極大值，極大值為f（-1）=2，
由于f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數(shù)，
且f（x）在[-1，1]上的最大值f（-1）=2，f（x）在[-1，1]上的最小值f（1）=-2，
所以，對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤2-（-2）=4，
則m≥4，
即有m的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力．