Question

【題目】設(shè)常數(shù).在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點，直線l：，曲線Γ：（，）.l與x軸交于點A、與Γ交于點B.P、Q分別是曲線Γ與線段AB上的動點.

（1）用t表示點B到點F的距離；

（2）設(shè)，，線段OQ的中點在直線FP上，求△AQP的面積；

（3）設(shè)，是否存在以FP、FQ為鄰邊的矩形FPEQ，使得點E在Γ上？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）方法一：設(shè)B點坐標(biāo)，根據(jù)兩點之間的距離公式，即可求得|BF|；

方法二：根據(jù)拋物線的定義，即可求得|BF|；

（2）根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求得Q點坐標(biāo)，即可求得OD的中點坐標(biāo)，即可求得直線PF的方程，代入拋物線方程，即可求得P點坐標(biāo)，即可求得△AQP的面積；

（3）設(shè)P及E點坐標(biāo)，根據(jù)直線kPFkFQ＝﹣1，求得直線QF的方程，求得Q點坐標(biāo)，根據(jù)，求得E點坐標(biāo)，則（）2＝8（6），即可求得P點坐標(biāo)．

（1）方法一：由題意可知：設(shè)，

則，；

方法二：由題意可知：設(shè)，

由拋物線的性質(zhì)可知：，；

（2），，，則，

，，設(shè)OQ的中點D，，

，則直線PF方程：，

聯(lián)立，整理得：，解得：，（舍去），

△AQP的面積；

（3）存在，設(shè)，，則，，

直線QF方程為，

，，

根據(jù)，則，

，解得：，

存在以FP、FQ為鄰邊的矩形FPEQ，使得點E在Γ上，且.