Question

已知f（x）=x²-2|x-a|，當(dāng)a＞O時，若對任意的x∈[O，+∞），不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先整理f（x-1）≤2f（x）的表達(dá)式，有絕對值的放到左邊，然后分①0≤x≤a②a＜x≤1+a③x＞1+a討論，首先去掉絕對值，然后整理成關(guān)于x的一元二次不等式恒成立的問題，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值，從而求出a的范圍，最后求它們的交集．

解答： 解：不等式f（x-1）≥2f（x）化為-（x-1）²+2|x-1-a|≥-2x²+4|x-a|，
即：4|x-a|-2|x-（1+a）|≤x²+2x-1（*）
對任意的x∈[0，+∞）恒成立．
因為a＞0．所以分如下情況討論：
①0≤x≤a時，不等式（*）化為-4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x²+2x-1，
即x²+4x+1-2a≥0對任意的x∈[0，a]恒成立，
因為函數(shù)g（x）=x²+4x+1-2a在區(qū)間[0，a]上單調(diào)遞增，
則g（0）最小，所以只需g（0）≥0即可，得a≤

1

2

，
又a＞0所以0＜a≤

1

2

，
②a＜x≤1+a時，不等式（*）化為4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x²+2x-1，
即x²-4x+1+6a≥0對任意的x∈（a，1+a]恒成立，
由①，0＜a≤

1

2

，知：函數(shù)h（x）=x²-4x+1+6a在區(qū)間（a，1+a]上單調(diào)遞減，
則只需h（1+a）≥0即可，即a²+4a-2≥0，得a≤-2-

6

或a≥-2+

6

．
因為-2+

6

＜

1

2

，所以由①得-2+

6

≤a≤

1

2

，
③x＞1+a時，不等式（*）化為4（x-a）-2[x-（1+a）]≥x²+2x-1，
即x²+2a-3≥0對任意的x∈（a+1，+∞）恒成立，
因為函數(shù)φ（x）=x²+2a-3在區(qū)間（a+1，+∞）上單調(diào)遞增，
則只需φ（a+1）≥0即可，
即a²+4a-2≥0，得或a≤-2-

6

或a≥-2+

6

．
由②得-2+

6

≤a≤

1

2

，
綜上所述得，a的取值范圍是[-2+

6

，

1

2

]

點(diǎn)評：本題是函數(shù)的綜合題，考查了函數(shù)恒成立的一個常用結(jié)論：a＞f（x）恒成立，只要a＞f（x）的最大值；a＜f（x）恒成立，只要a＜f（x）的最小值．還重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)中一個重要數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法--分類討論．本題屬于難題．