【題目】已知函數(shù),其中.

1)設(shè),討論的單調(diào)性;

2)若函數(shù)內(nèi)存在零點(diǎn),求的范圍.

【答案】(1)見解析;(2)的取值范圍是.

【解析】試題分析:(1)求出,對(duì)分三種情況討論,分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(2)設(shè) , ,設(shè),分三種情況討論: , ,分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)圖象以及零點(diǎn)定理,可得的范圍.

.

試題解析:(1)定義域

,則 上單調(diào)遞減;

,則 .

(i) 當(dāng) 時(shí),則 ,因此在 上恒有 ,即 上單調(diào)遞減;

(ii)當(dāng)時(shí), ,因而在上有,在上有 ;因此 上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

(2)設(shè) ,

,設(shè),

.

先證明一個(gè)命題:當(dāng)時(shí), .令, ,故上是減函數(shù),從而當(dāng)時(shí), ,故命題成立.

(i)若 ,由 可知, .,故 ,對(duì)任意都成立,故 上無零點(diǎn),因此.

(ii)當(dāng),考察函數(shù) ,由于 上必存在零點(diǎn).設(shè)的第一個(gè)零點(diǎn)為,則當(dāng)時(shí), ,故 上為減函數(shù),又 ,

所以當(dāng) 時(shí), ,從而 上單調(diào)遞減,故在 上恒有 。即 ,注意到 ,因此,令時(shí),則有,由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù) 上有零點(diǎn),符合題意.

(iii)若,則由 可知, 恒成立,從而 上單調(diào)遞增,也即 上單調(diào)遞增,因此,即上單調(diào)遞增,從而恒成立,故方程 上無解.

綜上可知, 的取值范圍是 .

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【題目】設(shè)函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

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A. B. C. D.

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【題目】已知

(Ⅰ)當(dāng)處切線的斜率為,求的值;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,求的極值;

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【題目】某班為了活躍元旦晚會(huì)氣氛,主持人請(qǐng)12位同學(xué)做一個(gè)游戲,第一輪游戲中,主持人將標(biāo)有數(shù)字1到12的十二張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中,每人依次從中取出一張卡片,取到標(biāo)有數(shù)字7到12的卡片的同學(xué)留下,其余的淘汰;第二輪將標(biāo)有數(shù)字1到6的六張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中,每人依次從中取出一張卡片,取到標(biāo)有數(shù)字4到6的卡片的同學(xué)留下,其余的淘汰;第三輪將標(biāo)有數(shù)字1,2,3的三張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中,每人依次從中取出一張卡片,取到標(biāo)有數(shù)字2,3的卡片的同學(xué)留下,其余的淘汰;第四輪用同樣的辦法淘汰一位同學(xué),最后留下的這位同學(xué)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品.已知同學(xué)甲參加了該游戲.

(1)求甲獲得獎(jiǎng)品的概率;

(2)設(shè)為甲參加游戲的輪數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知二次函數(shù)(是常數(shù),且)滿足條件:,且方程有兩個(gè)相等實(shí)根.

(1)的解析式;

(2)是否存在實(shí)數(shù),使的定義域和值域分別為?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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