【題目】設(shè),,,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)(.

1)當(dāng)時,求處的切線方程;

2)設(shè),求的單調(diào)區(qū)間;

3)當(dāng)時,恒成立,求a的取值范圍.

【答案】1;(2)答案見解析;(3.

【解析】

1)當(dāng)時,先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程;

2)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后分討論求函數(shù)的單調(diào)性;(3)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),討論當(dāng),由函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的最大值說明恒成立,當(dāng)時,令,則,分,兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性,并判斷函數(shù)的最值,說明的取值范圍.

解:(1)當(dāng)時,,,

,

所以處的切線方程為,即.

2.

①當(dāng)時,,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,;

②當(dāng)時,令,.

.,即時,則恒成立,

所以單調(diào)增區(qū)間為.

.,即時,

,

所以單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

.,即時,,,所以單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

3.

①若時,則時恒成立,所以上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,,所以時,恒成立.

②若時,令,則,

.當(dāng)時,即時,,所以單調(diào)遞減,所以,即,

所以單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,恒成立.

.當(dāng)時,令,則,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增.

因為上單調(diào)遞增且,

所以,所以在,所以,所以單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時,,不滿足條件.

所以a的取值范圍是.

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