Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，-

3

sin2x）．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈（-

π

4

，0），求函數(shù)的值域．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由向量的運算和三角函數(shù)公式可得f（x）=1+2cos（2x+

π

3

），整體法易得單調(diào)區(qū)間；
（2）由x∈（-

π

4

，0），結(jié)合三角函數(shù)的運算可得值域．

解答： 解：（1）∵

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，-

3

sin2x），
∴f（x）=

a

•

b

=2cos²x-

3

sin2x
=1+cos2x-

3

sin2x
=1+2cos（2x+

π

3

）
由2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z），
同理可得單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]（k∈Z）；
（2）∵x∈（-

π

4

，0），∴2x+

π

3

∈（-

π

6

，

π

3

），
∴cos（2x+

π

3

）∈（

1

2

，1]，
∴1+cos（2x+

π

3

）∈（

3

2

，2]，
∴函數(shù)的值域為：（

3

2

，2]

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和值域，屬中檔題．