Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當(dāng)x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂時(shí)，（x₂-x₁）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，則有
①2是函數(shù)f（x）的周期；
②函數(shù)f（x）無(wú)最大值，有最小值是0；
③函數(shù)f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，3）上是增函數(shù)；
④函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸x=k，k∈Z．
其中所有正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)偶函數(shù)則圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；對(duì)任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），則周期為2；當(dāng)x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂時(shí)，（x₂-x₁）[f（x₁）-f（x₂）]＞0說(shuō)明函數(shù)是減函數(shù)．然后據(jù)此對(duì)每個(gè)結(jié)論逐一判斷即可．

解答： 解：對(duì)于①，因?yàn)閷?duì)任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），所以f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）-1]=f（x），故該函數(shù)的周期為2，所以①正確；
對(duì)于②，結(jié)合①該函數(shù)的周期為2，然后結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)，所以只需判斷[-1，1]上的最值即可，因?yàn)楫?dāng)x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂時(shí)，（x₂-x₁）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），所以該函數(shù)在[0，1]上遞減，且在[-1，0]上遞增，故該函數(shù)在[-1，1]內(nèi)的最大值為f（0），故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，結(jié)合②的分析可知，函數(shù)f（x）在[0，1]上遞減，且在[-1，0]上遞增，由周期為2，所以f（x）在（1，2）上遞增，在（2，3）上遞減，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)，由f（x+1）=f（x-1），結(jié)合f（-x）=f（x），所以f（x+1）=f（1-x），所以x=1是對(duì)稱(chēng)軸，再結(jié)合周期為2，所以x=2k，x=2k+1，k∈Z為對(duì)稱(chēng)軸，即x=k，k∈Z為對(duì)稱(chēng)軸，所以④正確．
故答案為①④

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)及其綜合應(yīng)用，屬于中檔題．