Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點與拋物線C₂：y²=4x的焦點F重合，橢圓C₁與拋物線C₂在第一象限的交點為P，|PF|=

5

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）過點A（-1，0）的直線與橢圓C₁相交于M、N兩點，求使

FM

+

FN

=

FR

成立的動點R的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）拋物線y²=4x的焦點F的坐標為（1，0），準線為x=-1，設(shè)點P的坐標為（x₀，y₀），依據(jù)拋物線的定義，由|PF|=

5

3

，可求x₀．由點P在拋物線C₂上，且在第一象限可求點P的坐標，再由點P在橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1上及c=1，a²=b²+c²=b²+1，可求a，b，從而可求橢圓的方程
（2）設(shè)點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、R（x，y），則由

FM

+

FN

=

FR

，可得x₁+x₂-2=x-1，y₁+y₂=y．利用設(shè)而不求的方法可得

y1-y2

x1-x2

=-

3(x+1)

4y

，設(shè)FR的中點為Q，則Q的坐標為(

x+1

2

，

y

2

)．由M、N、Q、A四點共線可得

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x+1 2 +1

=

y

x+3

整理可得

解答：（1）解：拋物線C₂：y²=4x的焦點F的坐標為（1，0），準線為x=-1，
設(shè)點P的坐標為（x₀，y₀），依據(jù)拋物線的定義，由|PF|=

5

3

，得1+x₀=

5

3

，解得x0=

2

3

．
∵點P在拋物線C₂上，且在第一象限，∴

y

2 0

=4x0=4×

2

3

，解得y0=

2 6

3

．
∴點P的坐標為(

2

3

，

2 6

3

)．
∵點P在橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1上，∴

4

9a2

+

8

3b2

=1．
又c=1，且a²=b²+c²=b²+1，解得a²=4，b²=3．
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）解：設(shè)點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、R（x，y），
則

FM

=(x1-1，y1)，

FN

=(x2-1，y2)，

FR

=(x-1，y)．
∴

FM

+

FN

=(x1+x2-2，y1+y2)．
∵

FM

+

FN

=

FR

，
∴x₁+x₂-2=x-1，y₁+y₂=y．①
∵M、N在橢圓C₁上，∴

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1．
上面兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0．②
把①式代入②式得

(x+1)(x1-x2)

4

+

y(y1-y2)

3

=0．
當x₁≠x₂時，得

y1-y2

x1-x2

=-

3(x+1)

4y

．③
設(shè)FR的中點為Q，則Q的坐標為(

x+1

2

，

y

2

)．
∵M、N、Q、A四點共線，∴k_MN=k_AQ，即

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x+1 2 +1

=

y

x+3

．④
把④式代入③式，得

y

x+3

=-

3(x+1)

4y

，化簡得4y²+3（x²+4x+3）=0．
當x₁=x₂時，可得點R的坐標為（-3，0），
經(jīng)檢驗，點R（-3，0）在曲線4y²+3（x²+4x+3）=0上．
∴動點R的軌跡方程為4y²+3（x²+4x+3）=0．

點評：圓錐曲線的性質(zhì)與圓錐曲線的定義相結(jié)合，在解題時要注意靈活應(yīng)用這樣可以簡化運算在直線與橢圓的位置關(guān)系中涉及到直線的斜率、線段的中點結(jié)合在一起的問題，“設(shè)而不求”得做法可以簡化解題的基本運算，這是解決此類問題的重要方法．