分析:(1)拋物線y
2=4x的焦點F的坐標為(1,0),準線為x=-1,設(shè)點P的坐標為(x
0,y
0),依據(jù)拋物線的定義,由
|PF|=,可求x
0.由點P在拋物線C
2上,且在第一象限可求點P的坐標,再由點P在橢圓
C1:+=1上及c=1,a
2=b
2+c
2=b
2+1,可求a,b,從而可求橢圓的方程
(2)設(shè)點M(x
1,y
1)、N(x
2,y
2)、R(x,y),則由
+=,可得x
1+x
2-2=x-1,y
1+y
2=y.利用設(shè)而不求的方法可得
=-,設(shè)FR的中點為Q,則Q的坐標為
(,).由M、N、Q、A四點共線可得
==整理可得
解答:(1)解:拋物線C
2:y
2=4x的焦點F的坐標為(1,0),準線為x=-1,
設(shè)點P的坐標為(x
0,y
0),依據(jù)拋物線的定義,由
|PF|=,得1+x
0=
,解得
x0=.
∵點P在拋物線C
2上,且在第一象限,∴
=4x0=4×,解得
y0=.
∴點P的坐標為
(,).
∵點P在橢圓
C1:+=1上,∴
+=1.
又c=1,且a
2=b
2+c
2=b
2+1,解得a
2=4,b
2=3.
∴橢圓C
1的方程為
+=1.
(2)解:設(shè)點M(x
1,y
1)、N(x
2,y
2)、R(x,y),
則
=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),=(x-1,y).
∴
+=(x1+x2-2,y1+y2).
∵
+=,
∴x
1+x
2-2=x-1,y
1+y
2=y.①
∵M、N在橢圓C
1上,∴
+=1,+=1.
上面兩式相減得
+=0.②
把①式代入②式得
+=0.
當x
1≠x
2時,得
=-.③
設(shè)FR的中點為Q,則Q的坐標為
(,).
∵M、N、Q、A四點共線,∴k
MN=k
AQ,即
==.④
把④式代入③式,得
=-,化簡得4y
2+3(x
2+4x+3)=0.
當x
1=x
2時,可得點R的坐標為(-3,0),
經(jīng)檢驗,點R(-3,0)在曲線4y
2+3(x
2+4x+3)=0上.
∴動點R的軌跡方程為4y
2+3(x
2+4x+3)=0.
點評:圓錐曲線的性質(zhì)與圓錐曲線的定義相結(jié)合,在解題時要注意靈活應(yīng)用這樣可以簡化運算在直線與橢圓的位置關(guān)系中涉及到直線的斜率、線段的中點結(jié)合在一起的問題,“設(shè)而不求”得做法可以簡化解題的基本運算,這是解決此類問題的重要方法.