已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)．若C1恰好將線段AB三等分，則（　　）
A、a2=
13
2
B、a2=3
C、b2=
1
2
D、b2=2
分析：先由雙曲線方程確定一條漸近線方程為y=2x，根據(jù)對(duì)稱性易知AB為圓的直徑且AB=2a，利用橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，得方程a2-b2=5；設(shè)C1與y=2x在第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，2x），代入C1的方程得：x2=
a2b2
b2+4a2
；對(duì)稱性知直線y=2x被C1截得的弦長(zhǎng)=2
5
x，根據(jù)C1恰好將線段AB三等分得：2
5
x=
2a
3
，從而可解出a2，b2的值，故可得結(jié)論．
解答：解：由題意，C2的焦點(diǎn)為（±
5
，0），一條漸近線方程為y=2x，根據(jù)對(duì)稱性易知AB為圓的直徑且AB=2a
∴C1的半焦距c=
5
，于是得a2-b2=5   ①
設(shè)C1與y=2x在第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，2x），代入C1的方程得：x2=
a2b2
b2+4a2
②，
由對(duì)稱性知直線y=2x被C1截得的弦長(zhǎng)=2
5
x，
由題得：2
5
x=
2a
3
，所以x=
a
3
5
    ③
由②③得a2=11b2  ④
由①④得a2=5.5，b2=0.5  
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓，雙曲線為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題思路清晰，但計(jì)算有點(diǎn)煩瑣，需要小心謹(jǐn)慎．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在橢圓C1上，對(duì)角線BD所在的直線的斜率為1．
①當(dāng)直線BD過(guò)點(diǎn)（0，
1
7
）時(shí)，求直線AC的方程；
②當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一條準(zhǔn)線方程是x=
25
4
，其左、右頂點(diǎn)分別是A、B；雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；
（2）在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點(diǎn)P，連接AP交橢圓C1于點(diǎn)M，連接PB并延長(zhǎng)交橢圓C1于點(diǎn)N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2
2
與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程．
（Ⅱ）設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線l1過(guò)點(diǎn)F1，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若C1恰好將線段AB三等分，則b2=
0.5
0.5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，右頂點(diǎn)為A，離心率e=
1
2

（1）設(shè)拋物線C2：y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于F1，求橢圓的方程；
（2）設(shè)已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，b是雙曲線C3在第一象限上任意-點(diǎn)，問(wèn)是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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