分析:(1)因為e=
,橢圓 C
1的方程可設(shè)為
+ =1,與直線方程 x-y+
=0 聯(lián)立,由判別式等于0解出c值,即得橢圓 C
1的方程.
(2)由題意可知,點M的軌跡C
2 是以直線 l
1 為準線,點F
2為焦點的拋物線,由直線l
1的方程為X=-1,點P的坐標為(1,0),可得點M的軌跡C
2 的方程為 y
2=4x.
(3)由題意可知A點坐標為(1,2),由
•
=0,可得(x
2-1,y
2-1)•(x
0-x
2,y
0-y
2 )=0,方程 y
22+(2+y
0 )y
2+(2y
0+16)=0 有不為2的解,故 y
02-4y
0-60≥0,且y
0≠-6,從而解得 y
0 的取值范圍.
解答:解:(1)因為e=
=
,所以,a=
c,b=
c,橢圓 C
1的方程可設(shè)為
+ =1,
與直線方程 x-y+
=0 聯(lián)立,消去y,可得 5x
2+6
x+15-6c
2=0,
因為直線與橢圓相切,所以,△=
(6)2-4×5(15-6c2)=0,
又因為c>0,所以 c=1,所以,橢圓 C
1的方程為
+=1.
(2)由題意可知,PM=MF
2,又PM為點M到直線l
1 的距離,
所以,點M到直線l
1的距離與到點 F
2的距離相等,
即點M的軌跡C
2 是以直線 l
1 為準線,點F
2為焦點的拋物線,
因為直線l
1的方程為X=-1,點P的坐標為(1,0),所以,點M的軌跡C
2 的方程為 y
2=4x.
(3)由題意可知A點坐標為(1,2). 因為AB⊥BC,所以,
•
=0,
即 (x
2-1,y
2-1)•(x
0-x
2,y
0-y
2 )=0,又因為
x2=y22,
x0=y02,
所以,
(y
22-4 )(y
02-y
22 )+(y
2-2 )(y
0-y
2 )=0,
因為 y
2≠2,y
2≠y
0,所以,
(y2+2)(y0+y2)+1=0,
整理可得:y
22+(2+y
0 )y
2+(2y
0+16)=0,關(guān)于 y
2 的方程有不為2的解,所以
△=(2+y
0)
2-4(2y
0+16)≥0,且 y
0≠-6,
所以,y
02-4y
0-60≥0,且y
0≠-6,解得 y
0 的取值范圍為 y
0<-6,或 y
0≥10.
點評:本題考查求橢圓的標準方程,直線和橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,式子的化簡變形是解題的易錯點.