Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P到兩圓C₁：x²+y²-2

3

y+2=0與C₂：x²+y²+2

3

y-3=0的圓心的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+1與C交于A，B兩點．問k為何值時

OA

⊥

OB

？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓的定義即可求出對應(yīng)的方程．
（2）利用直線和橢圓的位置關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)換為一元二次函數(shù)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由已知得兩圓的圓心坐標(biāo)分別為C₁：（0，

3

），C₂：（0，-

3

），
設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以C₁（0，

3

），C₂（0，-

3

）為焦點，長半軸長為2的橢圓．     
它的短半軸長b=

22-( 3 )2

=1，
故曲線C的方程為x²+

y2

4

=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線y=kx+1代入x²+

y2

4

=1，
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
∵k²+4≠0，△=4k²+12（k²+4）=16（k²+3）＞0，
∴x₁+x₂=-

2k

k2+4

，x₁x₂=-

3

k2+4

．
又y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
若

OA

⊥

OB

，
則x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

-4k2+1

k2+4

=0
即-4k²+1=0，
解得k=±

1

2

．

點評：本題考查橢圓的定義和方程的求法，以及直線和橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，綜合性較強，運算量較大．