Question

【題目】已知圓滿足：①圓心在第一象限，截軸所得弦長為2；②被軸分成兩段圓弧，其弧長的比為；③圓心到直線的距離為.

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）若點是直線上的動點，過點分別做圓的兩條切線，切點分別為， ，求證：直線過定點.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)出圓的圓心坐標，可得到圓截 軸所得劣弧對的圓心角為 ，由垂徑定理得到圓截 軸的弦長，找出 及的關(guān)系式，，聯(lián)立得到的關(guān)系式；然后利用點到直線的距離公式求出到直線 的距離，讓其等于，從而得到的又一關(guān)系式，可求出的值，得到圓心的坐標，然后利用求出圓的半徑r，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可．
（Ⅱ）設(shè)點 以為圓心， 為半徑的圓的方程為 又（ 由①②得 ，即（ 可得直線PQ過定點

試題解析：（Ⅰ）設(shè)圓的圓心為（， ），半徑為，

則點到軸， 軸的距離分別為， .

由題設(shè)知圓截軸所得劣弧對的圓心角為，知圓截軸所得的弦長為，

故，

又圓被軸所截得的弦長為2，所以有，從而得.

又因為到直線的距離為，所以，

即有，由此有或.

解方程組得或（舍）

于是，所求圓的方程是

（Ⅱ）設(shè)點的坐標為，

以點為圓心，以為半徑圓的方程為，

聯(lián)立圓和圓的方程：

得直線的方程為：

即，直線過定點.